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equation differentielle du 1er odre avec second membre
Bonjour a toutes et tous , j ai besoin d'un coup de pouce pour cette équation différentielle, voici l'énoncé:
Résoudre dans R*+ l'équation différentielle suivante :
(1+x²)(dy/dx) + 2xy = 1/x
Voici ce que j 'ai fais :
(1+x²)y' + 2xy = 1/x
y' +(2x/(1+x²))y = 1/x(1+x²)
E0 : y' + (2x/(1+x²))y = 0
la primitive de (2x/(1+x²)) est ln(1+x²)
donc la solution générale de l'équation homogène est :
Ke^-ln(1+x²) = -K(1+x²).
Je bloque à cet endroit pour trouver la solution particulière , je cherche la forme de celle ci pour pouvoir la dérivé et remplacer dans l'équation de départ.
Merci d avance pour votre aide
Attention pour E0 : y' + (2x/(1+x²))y = 0 donne y'/y = -2x/(1+x²) donc ln y = - ln(1+x²)+C 
y = K/(1+x²) le - change tout.
la solution particulière de l'équation avec second membre, cherche là sous la forme y = K(x)/(1+x²) tu trouveras ln(x)/(1+x²)
solution particulière:
y= K(x)/(1+x²)
y'= [(K'(x)(1+x²))-(K(x)2x)]/(1+x²)²
on remplace dans l'équation de départ :
(1+x²)[(K'(x)(1+x²))-(K(x)2x)]/(1+x²)² + 2xK(x)/(1+x²)
et donc après simplification K'(x) = 1/x
Donc K(x) = ln(x) car on doit résoudre dans R*+
Donc la solution générale de l'équation est :
y= ln(x)/(1+x²)
faut-il faire intervenir une constante?
non ça c'est pas la solution générale, c'est une solution particulière de l'équation avec second membre. la solution générale, ça sera donc :
y = K/(1+x²) + ln(x)/(1+x²)
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