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equation differentielle du 1er odre avec second membre
Bonjour à toutes et tous , j ai besoin d'un coup de pouce :
Voici l'énoncé:
Résoudre dans R\{-1}l'équation différentielle suivante :
y(dy/dx) + y² = (2/((x+1)(x²+3)))e^(-2x)
Aide : faire un changement de variable astucieux.
Quelqu'un peut il m'aider pour ce changement de variable ?
merci d avance
tu peux déjà poser z = y² et remplacer yy' par z'/2
l'équation homogène sera alors simple. la solution particulière de l'équation avec second membre par contre va te sembler plus difficile.
on pose y= z²
1/2z' + z = (2/((x+1)(x²+3)))e^(-2x)
z' + 2z = (4/((x+1)(x²+3)))e^(-2x)
Equation homogène:
z' +2z = 0 , la solution de l'équation homogène est donc : y = Ke^(2x)
z'/z = -2 
ln |z| = -2x + C 
Solution assez détaillée ci-dessous.
Sélectionner le texte avec la souris depuis le début jusqu'au smiley final pour faire apparaître la réponse.
<font color="#FFFFFF"
Poser y² = u
2y.y' = u'
y.y' = (1/2).u'
(1/2).u' + u = (2/((x+1)(x²+3)))e^(-2x)
---
Sol de (1/2).u' + u = 0
u'/u = -2
u = C.e^(-2x)
Sol particulière de (1/2).u' + u = (2/((x+1)(x²+3)))e^(-2x)
u = f.e^(-2x)
u' = f'.e^(-2x) - 2f.e^(-2x)
(1/2).u' + u = (1/2).f'.e^(-2x) - f.e^(-2x) + f.e^(-2x)
(1/2).u' + u = (1/2).f'.e^(-2x)
(1/2).f'.e^(-2x) = 2/((x+1)(x²+3))e^(-2x)
f' = 4/((x+1)(x²+3))
f' = A/(x+1) + (Bx+D)/(x²+3)
A(x²+3) + (x+1)(Bx+D) = 4
A+B = 0
B+D = 0
3A+D = 4
A = 1, B=-1, C=1
f' = 1/(x+1) - (x-1)/(x²+3)
f' = 1/(x+1) - x/(x²+3) + 1/(x²+3)
f = ln|x+1| - (1/2).ln|x²+3| + (1/V3).arctan(x/V3)
u = [ln|x+1| - (1/2).ln|x²+3| + (1/V3).arctan(x/V3)].e^(-2x)
Sol générale de (1/2).u' + u = (2/((x+1)(x²+3)))e^(-2x) ;
u = [ln|x+1| - (1/2).ln|x²+3| + (1/V3).arctan(x/V3) + C].e^(-2x)
y² = [ln|x+1| - (1/2).ln|x²+3| + (1/V3).arctan(x/V3) + C].e^(-2x)
y = +/- e^-x * V[ln|x+1| - (1/2).ln|x²+3| + (1/V3).arctan(x/V3) + C]
-----
Sauf distraction.
</font>
j ai quand même une question pour bien comprendre , comment avez vous déterminez la forme :
f' = A/(x+1) + (Bx+D)/(x²+3)
Classique décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur R.
On en parle un peu sur ce lien :
Avant que l'un ou l'autre n'en fasse la remarque...
Tu as mis ton problème au niveau "Terminale"
Le changement de variables n'est plus au programme des Terminales en France et je ne sais pas ce qu'il en est de le "décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur R".
Mais cela est toujours au programme dans certains autres pays et donc ...
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