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Niveau Maths sup
Equation différentielle du 1er ordre avec x,y,y' et t
Posté par tailrotorblade
Bonsoir,
Je révise des maths pour passer un concours et je suis tombé sur un exercice ou je ne comprends pas trop la solution.
Voici l'énoncé:
Citation :
Soit l'équation différentielle suivante:
y'+
y=f(t), t
0
et
y(0)=0
dans laquelle f est une fonction continue du temps. En utilisant la méthode de la variation de la constante montrer que la solution peut s'écrire
y(t)=
e-(t-x)f(x)dx
c'est à dire y=h*f avec h(t)=e-t
Soit l'équation différentielle suivante:
y'+
y=f(t), t0
et
y(0)=0
dans laquelle f est une fonction continue du temps. En utilisant la méthode de la variation de la constante montrer que la solution peut s'écrire
y(t)=
e-(t-x)f(x)dx
c'est à dire y=h*f avec h(t)=e-
t
Voici mon début de résolution:
Citation :
J'ai donc commencé à chercher la solution sans second membre.
Je suis parti du principe que c'était une equa diff de type (y',y,t)
J'arrive à ceci:
dy/y=-dt
y=
e-t
J'applique la méthode la variation de la constante et j'arrive à
'(t)=f(t).e-t
j'intègre' et j'obtiens donc (t)=f(t).e-t
J'ai donc commencé à chercher la solution sans second membre.
Je suis parti du principe que c'était une equa diff de type (y',y,t)
J'arrive à ceci:
dy/y=-dt
y=
e-t
J'applique la méthode la variation de la constante et j'arrive à
'(t)=f(t).e-t
j'intègre
' et j'obtiens donc (t)=f(t).e-t
Les éléments de réponse du bouquin:
Citation :
Ils trouvent la même relation que moi concernant',
mais qd ils intègrent ils trouvent ceci:
(t)=f(x).e-x+C (intégrale de 0 à t) or C=0 car y(0)=0.
Ils trouvent la même relation que moi concernant
',
mais qd ils intègrent ils trouvent ceci:
(t)=f(x).e-x+C (intégrale de 0 à t) or C=0 car y(0)=0.
Ma question: Je ne comprends pas pourquoi ils transforment le t en x en quelque sorte. Pourriez vous me mettre sur la voie svp?
Merci d'avance de m'avoir lu jusqu'ici...
Thierry
Bonjour,
Ton erreur est élémentaire...et en un sens pas grave, c'est juste que la variable sous une intégrale est muette.
Merci pour la réponse ultra rapide !
Donc en fait c'est un 'jeu' d'écriture?
Pour info j'arrivais à la solution suivante:
y(t)=e-t.f(t).etdt
et le bouquin:
y(t)=e-(t-x).f(x)dx
C'est donc juste la même chose, mais présenté différemment pour faire rentrer l'exponentielle dans l'intégrale ?
Merci encore !
Thierry
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