Oui pour l'équation homogène, y=k/(1+x) est correct
Pour la solution particulière, fait varier la constante en posant y=K(x)/(1+x)

tu dois trouver 2ln|x+1|/(x+1) comme solution particulière.

Parce que y=-k.(1+x) est équivalent à dire  y=k/(1+x) ???

salut

(1 + x)²y' + (1 + x)y = 2 <==> (1 + x)[(1 + x)y' + y] = 2 <==> (1 + x)u' = 2 <==> u' = 2/(1 + x) <== u = 2ln(1 + x)

où on a posé u = (1 + x)y

donc y = 2ln(1 + x)/(1 + x)

x = -1 est impossible.

Solutions de  : (1+x)².y' + (1+x).y = 0.

y'/y = -1/(1+x)

ln|k.y| = ln|1/(1+x)|

y = C/(1+x)
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Solution particulière de (1+x)².y' + (1+x).y  = 2

y = f/(1+x)
y' = ((1+x).f'-f)/(1+x)²

(1+x)².y' + (1+x).y = 2
((1+x).f'-f) + f = 2
f' = 2/(1+x)
f = 2.ln|1+x|
y = 2.ln|1+x|/(1+x)
---
Solutions générales de (1+x)².y' + (1+x).y  = 2

y = (C + 2.ln|1+x|)/(1+x)
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y = (C1 + 2.ln|1+x|)/(1+x) sur ]-oo ; -1[
y = (C2 + 2.ln|1+x|)/(1+x) sur ]-1 ; +oo[

Avec C1 et C2 des constantes réelles.
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Sauf distraction.  

Alternative.  

(1+x)^2 y' + (1+x)y = 2

Poser y = uv, y' = uv' + u'v
(1+x)².(uv' + u'v) + (1+x).uv = 2
u.((1+x)² v' + (1+x)v) + u'v.(1+x)² = 2

Cherchons une expression de v telle que (1+x)² v' + (1+x)v = 0
v = 1/(1+x) convient.

L'équation devient : u'*(1+x) = 2
u' = 2/(1+x)
u = 2.ln|1+x| + C

y = (2.ln|1+x| + C)/(1+x)
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y = (C1 + 2.ln|1+x|)/(1+x) sur ]-oo ; -1[
y = (C2 + 2.ln|1+x|)/(1+x) sur ]-1 ; +oo[

Avec C1 et C2 des constantes réelles.
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ok ! merci tout le monde je pense avoir tout compris sauf le passage de

y'/y = -1/(1+x)

à

ln|k.y| = ln|1/(1+x)|

Pour moi lorsque j'intègre j'ai: "intégrale (dy/y) = - intégrale (1/1+x) dx"

qui donne "ln(y)= - ln(1+x)" et donc "y= k.(1+x)".

Alors est-ce la même chose, peut-on modifier les écritures ??

quand on intègre dy = f(x)dx alors y + k = F(x)

mais comme ln(ab) = ln(a) + ln(b) on peut écrire ce qui est écrit ....

ce qui donne détail

dy/y = f(x)dx <==> ln(y) + k = F(x)

mais il existe toujours un réel K tel que ln(K) = k

...

Ce que tu loupes dans ton calcul est le fait que

Lorsque tu écris :