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Equation différentielle et ch/sh
Bonjour à tous, je bloque sur l'exercice suivant :
Soit f:R->R, on s'intéresse ici à l'équation diffénretielle (E) : y" - y = f(x) dont on cherche les solutions sur R à valeurs dans R.
Montrer que l'ensemble des solutions de (H) : y" - y = 0 sur R est l'ensemble des fonctions de la forme a*ch(x)+ b*sh(x) avec a et b sur R
J'ai ramené cette équation sous sa forme résolvante : X²-1 = 0 d'où les solutions de (H) : c*e^(-t) + d*e^(t).
A partir de là j'ai essayé de retravailler la solution à trouver à partir des expressions expo de ch et sh mais je n'arrive pas à retomber sur mes pattes!!
Merci d'avance pour votre aide
Voyons ça sans parler d'espaces vectoriels :
on en déduit :
et
Par conséquent : qui est bien de la forme voulue.
Ah bien oui, merci beaucoup j'essayais de partir dans l'autre sens alors que comme ça c'est bien plus simple, merci!
Dans la suite de l'exercice, on me demande de montrer que la fonction g définie pour x réel par :
g(x) = sh(x) * intégrale[f(t)*ch(t)*dt,de 0 à x] - ch(x) * intégrale[f(t)*ch(t)*dt,de 0 à x] est solution de (E) sur R.
Ceci est facile à montrer mais par la suite on me demande d'en déduire les solutions de (E) sur R et là je ne vois pas trop comment faire!
Merci pour votre aide
Ton équadiff est linéaire, donc les solutions sont de la forme : Solution particulière + Solution de l'équation homogène.
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