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équation différentielle f'=f (k=1) et f(0)=1
Bonjour à tous,
le titre du topic correspond à la deuxième sous-partie du chapitre sur la fonction exponentielle qui commence ainsi :
II)
On recherche s'il existe au moins une fonction définie et dérivable sur R et vérifient ces 2 conditions : f'=f et f(0)=1.
a) Propriété
Si une telle fonction existe, alors pour tout réel x, f(-x) x f(x) = 1.
Preuve : On considère la fonction Phi définie sur R par Phi = f(-x) x f(x)
Phi est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables.
Mon problème se pose là : on me demande de dériver la fonction Phi, mais comment faire, sachant que je ne connais pas les fonctions f ?
Bonjour Phi(x) est un produit de fonctions donc tu vas utiliser la formule u'v+v'u
Et puis pour dériver f(-x) utiliser la formule des fonctions composées [f(g(c))]'=f'(g(x)).g'(x)
Ça veut dire que la dérivée de f(-x) est -f'(-x)
la dérivée de Phi vaudra donc 
'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
(et si on sait en plus que f'(x)=f(x) on voit que '(x)=0 et donc que (x) est constant (= par exemple à f(0)f(0)=1 ) et donc ça démontre que (x)=1
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