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Equation différentielle linéaire

Posté par
fabuloso 21-10-09 à 19:08

Bonjour,

Un exercice me gene dans mon dm... enfin, une question:

Soit I un intervalle de R, a une fonction dont la dérivée est continue sur l'intervalle I, b une fonction continue sur I. On considere l'équation d'inconnu y par E:\forall x\in I, y''(x)+a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0

Montrer que E admet deux solutions y_1 et y_2 vérifiant la propriété: \forall x\in I, y_1(x)\neq 0, y_2(x)=xy_1(x) si et seulement si b= \frac{1}{2}a'+\frac{1}{4}a^2.

Pour le sens direct, j'ai écrit : Si (y_1;y_2)\in S_E^2, y_2'=y_1+xy_1' et y_2''=2y_1'+xy_1'' en remplaçant, j'arrive a y_1''+y_1'(a+\frac{2}{x})+y_1(b+\frac{a}{x})=0 et la... je ne vois plus, vous avez une idée?

Merci d'avance.

Posté par
fabulosore : Equation différentielle linéaire 21-10-09 à 21:15

??

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Equation différentielle linéaire 22-10-09 à 13:17

Bonjour,

Je n'ai pas la solution mais en écrivant (E) pour y2=xy1, on obtient :

x(y"1+ay'1+by1) + 2y'1+ay1 = 2y'1+ay1 = 0 puisque y1 est solution de (E)

C'est un début de piste. Si ça peut t'aider...

Posté par
ptitjeanre : Equation différentielle linéaire 22-10-09 à 14:14

Bonjour,

en effet, en partant de la piste de godefroy
on a y_1'=-\frac{a}{2}y_1
et donc en dérivant y_1''=-\frac{a}{2}y_1'-\frac{a'}{2}y_1=\frac{a^2}{4}y_1-\frac{a'}{2}y_1

Tu remplaces dans l'équa diff, et comme y1 est non nul, la condition demandée est vérifiée.

Ptitjean


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