c'est Z = cos²(Z) désolé pour la faute frappe

Bonjour

sans doute Z' = cos²(Z)

z' = cos²(Pi.z)

dz/dx = cos²(Pi.z)

dz/cos²(Pi.z) = dx

On intégre :

(1/Pi).tan(Pi.z) = x + K

tan(Pi.z) = Pi(x + K)

z = (1/Pi) * arctan(Pi.(x + K))
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Sauf distraction.  

merci beaucou ...

Je ne suis pas d'accord .

Ce qu'on peut dire , après J-P , c'est que les f_c : x (1/).Arctan(x + c) ( c ) sont des solutions de l'ED .
Or les g_k : x k + 1/2 (k ) sont aussi des solutions .
Pourquoi ne les a-t-il pas trouvées ?

Mais alors :  n'y en aurait-il pas d'autres laissées en route ?
D'ailleurs un th de cauchy affirme que pour tout (a,b) ² il existe des (J,h) ( où J est un intervalle ouvert non vide contenant a et h une application dérivable de J dans ) tels que f(a) = b et tels que pour tout x de J on ait : f '(x) = cos²(f(x))


Dans ma façon de faire :
Je désigne par  S l'ensemble des f : qui sont dérivables et telles que pour tout x on ait : f '(x) = cos²(f(x))

Analyse : Soit f S . Bien sûr je meurs d'envie de diviser par cos²(f(x)) mais on m'a prévenu de faire attention quand je divise !
Je dois donc (pour diviser) considérer U = { x |  f(x)   1/2 + }
Là je tombe naturellement sur les g_k et je continue en disant : supposons que U soit non vide . Comme il est ouvert il est réunion (au +  dénombrable ,mais non vide ) d'intervalles ouverts non vides . Soit J l'un d'eux. Il existe alors un entier k tel que f(J) ]k + 1/2 , k + 3/2[ (th des VI)
Aprés je montre qu'il existe c réel tel que pour tout x de J , f(x) = k + 1/2 + f_c(x)
Pour avoir gagné il me reste à prouver que J = ce qui se fait par l'absurde ( si une des extêmités s de J était réelle il existerait un entier p tel que f(s) = p + 1/2 or f(s) est limite de k + 1/2 + f_c(x) quand x tend vers s en restant dans J et ne peut pas être de cette forme.)


Une autre façon de faire : Soit f un élément de S.
1-er cas : f prend une valeur 1/2 +k où  k ;  alors un th de Cauchy me dit que f = g_k puisque 2 éléments distincts de S ne prennent jamais la même valeur.
2.f() (1/2 + ) = . Le th des valeurs intermédiaires m'assure qu'il existe k tel que  
f() ]k+1/2 , k+3/2[ et alors f = 1/2 + k +f_c pour un certain réel c.
...etc...

La synthèse est alors facile.

Ainsi S = {g_k [ k } {g_k + f_c | (k,c) }


En maths sup la connaissance  du th des vi et du fait que les composantes connexes des ouverts sont des intervalles ouverts suffit .

Pourquoi ne les a-t-il pas trouvées ?

Tout simplement parce que je n'ai pas pris la précaution de préciser :

... si cos(Pi.z) est différent de 0 avant de diviser par cos²(Pi.z). Et d'ensuite traiter à part le cas ou cos(Pi.z) pouvait s'annuler.

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On peut vérifier que les solutions trouvées, soit z = (1/Pi) * arctan(Pi.(x + K)) donnent des valeurs de z dans ]-1/2 ; 1/2[ (ce qui est évident) et donc que ces solutions sont compatibles avec cos(Pi.z) différent de 0.

Donc il restait à traiter le cas où cos(Pi.z) pouvait s'annuler.

Si cos(Pi.z) = 0 c'est forcément pour z = 1/2 + k.Pi.

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