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Equation Differentielle Ordre 1
Bonjour, j'aurai besoin de votre aide pour un exercice sur les eq diff j'ai un probleme avec cette equation que je n'arrive pas a resoudre ?
y'(x)cos(x) - y(x)sin(x) = tan(x)
voila j'ai essayer avec deux methodes mais je ne suis pas sur que c'est juste :
* Directement solution generale de E0 : y=Ke^(-ln|cosx|) >>>> y=K/|cosx|
* Ou bien en divisant E par Cos²(x)
y'/cos(x) - y.(sin(x)/cos²(x)) = tan(x).1/cos²(x)
y'.(1/cos(x)) - y.(1/cos(x))' = tan(x).1/cos²(x)
[ y'.(1/cos(x)) - y.(1/cos(x))' ] / [ 1/cos²(x) ] = tan(x)
( y / [ 1/cos(x) ] )' = tan(x)
en integrant
y cos(x) = -ln|cos(x)| + K
y = -ln|cos(x)| + K / cos(x)
voila on voit que c'est pas la meme chose donc je suis bloque
si quelqu'un aurait une solution a l'equation sa serai sympa de m'expliquer
merci a vous
Bonjour.
Nous avons donc
D'où
Une primitive de tan(x) est , donc les solutions générales sont de la forme exp-(Ln(1/cos(x))).
Reste plus qu'a trouver une solution particulière avec la méthode de la variation de la constante 
Bonsoir,
1ère méthode.
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Vous avez cherché la solution de l'équation sans second membre (E0) et vous trouvez:
y=K/|cos(x)|.
C'est exact, mais ne gardez pas la valeur absolue:
si cos(x)>0, y=K/cos(x) et , si cos(x)<0, y=-K/cos(x). Or K est indéterminé, donc la forme générale est:
y=K/cos(x).
Il faut ensuite trouver une solution particulière de (E), en remlaçant K
par une fonction dérivable u:x-->u(x) (variation de la constante).Nous obtenons:
y(x)=u(x)/cos(x)
Vous arrivez à: u'(x)=tan(x); u'(x)'=-(-sin(x)/cos(x);
u(x)=-ln|cos(x)|+K;
d'où la solution générale:
y=-ln|cos(x)|/cos(x)+K/cos(x);
y=[K-ln(cos(x)]/cos(x) (1)
2ème méthode.
=============
Pourquoi diviser par cos²(x), alors que: [y.cos(x)]'=y'cos(x)-ysin(x) et tan(x)=-[-sin(x)/cos(x)]=[-ln|cos(x)|]', d'où:
y.cos(x)=-ln|cos(x)|+K puis:
y=[-ln|cos(x)|+K]/cos(x). On retrouve (1).
Cordialement.
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