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Equation différentielle, solution sur IR, changement de variable

Posté par
ChazyChaz 31-10-08 à 14:10

Bonjour à tous, je bloque pour la résolution sur \mathbb{R} de mon équation différentielle  qui est  \large x^2 y''\large +x y'\large -y = 0 (E)

Premièrement, on résout sur l'intervalle \large ]0,+\infty[ en se donnant y une solution de (E), et en posant \large x=e^t et \large x=-e^t. Si g(x) est une solution de (E) montrer que\large z(t) = g(e^t) est solution d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.
En déduire les solutions de (E) sur \mathbb{R}+*, sur \mathbb{R}-* et sur \mathbb{R}.

Dans le cas où on résout sur \large ]0,+\infty[, j'ai trouvé l'équation différentielle vérifiée par \large z(t) : \large z(t)''\large -z(t) = 0, et donc on en déduis la forme de g, j'ai donc trouvé que \large g(x) = \lambda x + \frac{\mu}{x} avec lambda et mu des constantes, mais pour la résolution sur \large ]-\infty,0[, je ne vois pas comment faire puisque l'on se retrouve avec
z(ln(-x)) = g(-x) et la je ne sais pas exploiter le fait que g(x) soit solution de (E), et la je bloque et c'est embêtant puisqu'après il faut regarder si on a des solutions sur \mathbb{R}.

Si vous pouviez m'aider pour la résolution sur \large ]-\infty,0[,et me donner des pistes pour le solutions sur \mathbb{R}, ce serait gentil, merci à tous.

Posté par
ChazyChazre : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 15:25

Un petit UP ?

Posté par
1 Schumi 1re : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 16:28

Salut

Si x|->g(x)  est solution sur R+* alors x|->g(-x) est solution sur R-* non?

Posté par
ChazyChazre : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 18:53

Ah en effet, donc la solution sur R-* serait donc \large -\lambda x - \frac{\mu}{x} non ?

Posté par
1 Schumi 1re : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 18:55

Vu que lambda et mu sont quelconques, le "-" me semble toutafé inutil.

Posté par
ChazyChazre : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 18:57

Donc la solution sur R*- est la même que celle sur R*+ ? Bizarre cette histoire ...

Posté par
1 Schumi 1re : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 19:22

Ben non, surement pas. Les lambda et mu que tu prends sur R+* n'ont aucune raison d'être les mêmes que ceux que tu prends sur R-*.

Posté par
ChazyChazre : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 19:26

Okay donc la solution sur R*+ est \large \lambda x + \frac{\mu}{x} avec \lambda, \mu des constantes réelles et la solution sur R*- est \large \lambda' x + \frac{\mu'}{x} avec \large \lambda',\mu'  des constantes réelles, ai-je raison cette fois ci ?
Merci à toi de tes participations

Posté par
1 Schumi 1re : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 19:27

Il me semble bien.

Posté par
ChazyChazre : Equation différentielle, solution sur IR, changement de var 31-10-08 à 19:31

Merci à toi, je vais essayer de faire la suite


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