Salut à tous!

Je suis bloqué au n°2 de mon devoir de math sur les équations différentielles!

Voici l'énoncé:

Lorsque la pénicilline est injectée directement dans le sang, on considère que sa vitesse d'élimination est, à chaque instant, proportionnelle à la quantité de pénicilline présente dans le sang à cet instant. Ainsi, la quantité de pénicilline Q(t), exprimée en milligrammes, présente dans le sang à l'instant t (t≥0,exprimé en heures), est solution de l'équation différentielle Q'(t)=-aQ(t) où a est un réel. A l'instant t=0, on injecteune dose de 5mg de pénicilline.

1. Montrer que, pour tout réel t≥0 : Q(t)=5e^-at

Ma réponse:

Q(t)+aQ(t)=0
Q(0) =5

Q(0)=Ke^-a0
Q(0)=5

K=5 donc Q(t)=5e^-at
et normalement je pense avoir bon sur cette partie.

2.Sachant qu'au bout de 2 heures, la quantité de pénicilline présente dans le sang a diminué de moitié, montrer que a = ln2/2. Donner une valeur arrondie de a au centième.

Après 4 pages de calcul, je ne trouve toujours pas comment faire. J'ai jamais eu affaire à un exercice du genre, trouver a?
Du coup, l'énoncé nous dit que t=2 (2 heures)
Alors j'ai tenté de remplacer t par 2 et d'isoler le a mais au final je trouve a=-ln5 au lieu de ln2/2
Je suis vraiment perdu ici!

3. On admet que la fonction Q décrit de façon satisfaisante la quantité de pénicilline présente dans le sang entre 0 et 6 heures. Déterminer à partir de quel instant, exprimé en heures et minutes et arrondi à la minute, la quantité de pénicilline présente dans le sang sera inférieure à 1mg.

Pour cette partie j'ai pensé à faire ça :

Q(t)=1 (pour 1mg)
Q(t)=5e^-at

1=5e^-at

1/5=e^-at

e^-at= 0.2

t= -ln 0.2/a

Le problème c'est qu'il me manque le a trouver à la partie 2!

Pouvez vous m'aider à résoudre ce problème et me montrer comment refaire le calcul pour une prochaine fois svp? Je suis perdu là

Merci