Une technique parmi d'autres :

(1+x²)dy/dx + 4xy = 1/(1+x²)²

dy/dx + (4x/(1+x²)).y = 1/(1+x²)³  (1)

Poser y = uv
dy/dx = u dv/dx + v du/dx

L'équation (1) devient :
u dv/dx + v du/dx + (4x/(1+x²)).u.v = 1/(1+x²)³

u(dv/dx + v.4x/(1+x²)) + v du/dx = 1/(1+x²)³ (2)

Cherchons une expression de v telle que : dv/dx + v.4x/(1+x²) = 0
dv/dx = - v.4x/(1+x²)
dv/v = - 4x/(1+x²) dx
ln|v| = - 2.ln(1+x²)
ln|v| = ln(1/(1+x²)²)
v = 1/(1+x²)²

L'équation (2) devient alors :

1/(1+x²)² du/dx = 1/(1+x²)³
du/dx = 1/(1+x²)
--> u = arctg(x) + K

y = u.v

y = (arctg(x) + K)/(1+x²)²

(valable sur R et pas seulement pour x > 0)
-----
Sauf distraction.  

Merci beaucoup mais  s'est presque la même méthode  que je sais faire   (Je suis gonglant ^^) Néanmoins on trouve exactement les mêmes choses !!

En faite, vu ta réponse complète, je me demande si avec :

(4x)/1+x²) [= ?? (je ne sais pas à quoi s'est égale] (1 en haut et 0 en bas de l'integrale)

S'est possible de résoudre cette équation en passant par l'homogème ?

Je pense avoir une idée :

(4x)/(1+x²) (1 en haut et 0 en bas)
= [(1+x²)(4)-(4x)(2x)]/(1+x²)²      

Car : ( [v(du)/(dx)]-u[(dv)/(dx)] )/v²
Donc :

(4+4x²-8x²)/(1+x²)² = -(4x²-4)/(1+x²)²

Et là je suis bien perdu car je ne vois plus le rapport avec l'equation !!! :'(

Il n'y a aucun soucis pour trouver une primitive de f(x) = 4x/(1+x²)

C'est immédiat, soit F(x) = 2.ln(1+x²)

J'ai d'ailleurs utilisé cela dans ma résolution, dans la partie :

dv/dx = - v.4x/(1+x²)
dv/v = - 4x/(1+x²) dx
ln|v| = - 2.ln(1+x²)
ln|v| = ln(1/(1+x²)²)
v = 1/(1+x²)²

J'explicite:

A partir de dv/v = - 4x/(1+x²) dx

On intègre les 2 membres et on a :

S dv/v = - S 4x/(1+x²) dx

Et donc le membre de droite est bien (au signe près) : S 4x/(1+x²) dx

Mais cela ne signifie pas du tout que la manière que j'ai utilisée (rarement employée, je ne sais pas pourquoi) est celle qui était attendue.

Oui, sa je trouvais aussi cette primitive en isolant "y" ainsi je pouvais la résoudre facilement, n'empêche vous m'apprenez une nouvelle méthode un peu plus compliquée

Regardez svp avec l'ingrale et corriger moi

J'isole le "y" de l'équation homogène :
bla bla ^^
y=(4x)/(1+x²)   (1 en haut et 0 en bas de l'integrale)
J'applique la formule:
y= [(1+x²)(4)-(4x)2x]/(1+x²)²
y=-4(1+x²)/(1+x²)²
y= -2(2/(1+x²))
ln(|y|)= -2ln(1+x²), 1+x²>0 on retrouve cette étape dans d'autre méthode !
bla bla
y= 1/(1+x²)²

Est-ce correct ?

Bonjour,

J'arrive peut-être un peu tard mais on ne sait jamais.

Tu t'es trompé en primitivant l'intégrale.

4x/(1+x²) est différent de [4(1+x²) - 4x*2x]/(1+x²)²; là en fait tu as dérivé 4x/(1+x²), mais tu ne l'as pas primitivé.

Tu sais que 4x/(1+x²)= 22x/(1+x²).

Or une primitive de 2x/(1+x²) = ln(1+x²) (en dérivant ln(1+x²) tu tombes bien sur 2x/(1+x²))

Donc 4x/(1+x²) = 22x/(1+x²) = 2*[ln(1+x²)] (avec 1 en haut et 0 en bas]

2*[ln(1+x²)] (avec 1 en haut et 0 en bas] = 2(ln(1+1²)-(ln(1+0²))= 2ln2  (car ln(1) = 0)

Donc 4x/(1+x²) = 2ln2  (sauf erreur de ma part)

Par contre d'après ce que j'ai compris tu voudrais dire qu'une solution y = 4x/(1+x²)serait solution de l'équation diff? Dans ce cas c'est non. Tu ne peux pas conclure seulement en utilisant l'intégrale de cette façon. Tu es obligé de passer par le raisonnement de J-P par exemple (pour ma part j'ai utilisé une autre méthode avec l'équation homogène associé, et on retrouve les mêmes solutions)

Voilà, j'espère que ça t'aidera.

Oui sa m'a beaucoup aidé, j'ai enfin compris 2 méthodes pour résoudre cette equation ^^ C qui parait bizarre s'est que je trouve le même résutat endérivant ! Mais s'est pas grave si s'est faux, je préfère avoir un raisonnement juste :p (je ne voulais pas voir si 4x/1+x² était le résultat mais si on pouvait raisonner avec ^^ pas grave )

Merci beaucoup de votre soutien, et de votre patience =)

Bonjour,

Une autre solution:tout multiplier par (1+x²)
et poser


...


Alain

Bonjour Alain,

Je ne comprends pas si on pose u(x)=1+x²y(x), comment on résoud ça ? (comme je l'ai dit au début je suis qu'en seconde alors mes capacitées sont quand mêmes limitées ]
Pour être franc, je ne vois pas d'ou peut sortir ceci !

(1+x²)y'+4xy= 1/(1+x²)²  Voici l'équation de départ, vous multipliez les deux membres sur l'équation homogème ou  l'initiale ?

Cordialement,

Bonjour,


u(x) est un produit,sa dérivée de


Il faut encore connaître la primitive de



Tout ceci n'est pas du niveau de 1ère S...


Alain

Je sais, mais comme je connaissais deux méthodes de résolutions alors j'ai voulu en trouver, puis pmon professeur de math me la conseillé vu comme je suis en avance.

Je connais la primitive, mais je n'y avais pas pensé ^^ je pensais "multiplier les deux membres" mais s'est pour sa que je ne trouvais pas :p

Merci beaucoup pour toute vos méthodes =) Je pense que je suis préparé pour la rentrée xD

Bon dimanche,


Confirme cependant ton orthographe.
1er exercice: réécrire sans fautes ton
dernier mail,


Amicalement,


Alain

Veuillez m'excuser, je confirme aussi qu'il y a énormément de fautes :'(

Bonjour,


Je te conseille de bien progresser dans
les différentes matières,tu éviteras ainsi de
gros déboires à venir,


Amicalement,

Alain

Merci beaucoup pour ton conseil, j'avais posté ce message le soir donc je pense que j'étais fatigué ! ^^ Cependant, s'est vrai que j'ai des  grosses lacunes en français. Je suis plutôt tourné vers la science et non le français

Bonne après-midi,

Depuis une douzaine d'années j'écris
des poèmes .

Je t'en donne un court.


COUPLAGE

Parole vaine,
Larynx, bouche, oreilles
au repos, bien éveillés.

Ne plus justifier,
ne pas expliquer,
ne plus dire.

Dans le pli souple de l'onde,
ensemble portés...


Alain

Merci beaucoup, mais je ne comprends pas (je suis vraiment "naze" en français ^^) Bon après s'est peut-être le faite que j'ai un peu trop la tête dans la science ! Enfin je passe en S alors la littérature et le français ne seront pas mes prioritées cependant j'aime quand même le français car s'est une belle langue mais pas les capacitées pour comprendre, et on ne peut pas être bon de partout

Oui,

Tu m'es sympathique c'est pour cela que
je permets d'insister :
Ne te spécialise ni trop ni trop vite!!
N'oppose pas sans procès  sciences et littérature,


Alain

Tous mes professeurs me l'ont dit. J'essai de faire comme ils me disent, mais s'est difficile ^^ Je sais que la littérature et la science sont en lien ^^ Mais s'est vrai que peut-être je ne passe pas assez de temps sur la littérature, et trop de temps sur la science :/ Mais le point qui me fait aimer la littérature, s'est l'histoire, j'adore l'histoire (surtout les incas) de certain écrivain où j'adore lire leurs histoires (quand on me demande de la lire ) Bref, je fais quand même mon possible pour me mettre dans la littérature, bon après je n'ai peut-être pas le niveau des autres mais tant que le mien évolue s'est le principal, après je devrai aussi "freiner" la science, car des fois je vais trop loin !

Oui,


Je pense à deux choses:

Soit plus attentif à tous ce que tu lis
(orthographe,grammaire,vocabulaire)
et lecture du journal de temps en temps.

Il te faudra dans quelques années passer au 'Monde',



Alain

Je ferai tous ça surtout que demain s'est la rentrée ^^ Et je suis déjà passé au monde
Merci beaucoup pour vos conseils donc je vais tous faire pour les appliqués