y' + y/x = cos²(x)

a) y' + y/x = 0
dy/y = - dx/x
y = K/x

b)
Sol part de y' + y/x = cos²(x)
y = f/x
y' = (x.f' - f)/x²

(x.f' - f)/x² + f/x² = cos²(x)
f' = x.cos²(x)
f' = x.(1+cos(2x))/2
f = x²/4 + (1/2).S x.cos(2x) dx
Et par IPP ... (Plus au programme des Terminales en France me semble-t-il, mais le profil de gmz indique "Licence" ???)
f = x²/4 + (1/4).x.sin(2x) + (1/8).cos(2x)
--> y = x/4 + (1/4).sin(2x) + (1/8).cos(2x)/x

c)
Solutions générales de y' + y/x = cos²(x) :

y = x/4 + (1/4).sin(2x) + (1/8).cos(2x)/x + K/x
-----

Solutions de y' + y/x = cos²(x) :

y = x/4 + (1/4).sin(2x) + (1/8).cos(2x)/x + K1/x pour x dans ]-oo ; 0[
y = x/4 + (1/4).sin(2x) + (1/8).cos(2x)/x + K2/x pour x dans ]0 ; +oo[

Avec K1 et K2 des constantes réelles.
-----
Je ne comprends pas la question :

Citation :

Citation :
Ainsi, je voulais savoir si la constante à   changeait selon les cas ou bien si c'est le résultat.

Bonjour,
Tout d'abord, merci pour le raisonnement que vous avez fait, mais ce n'est pas cos²(x) mais cos (x²).
Puis, dans la citation que vous avez mentionnée, je voulais savoir si les constantes réelles étaient différentes selon les cas où x ]0,+[ et ]-,0[.

Répondez-moi quand vous aurez du temps libre.
Je vous en serez très reconnaissant.

Merci de votre compréhension.

y' + y/x = cos(x²)

a) y' + y/x = 0
dy/y = - dx/x
y = K/x

b)
Sol part de y' + y/x = cos(x²)
y = f/x
y' = (x.f' - f)/x²

(x.f' - f)/x² + f/x² = cos(x²)
f' = x.cos(x²)
f = (1/2).sin(x²)

c)
Solutions générales de y' + y/x = cos(x²) :

y = (1/2).sin(x²)/x + K/x
-----

Solutions de y' + y/x = cos(x²) :

y = (1/2).sin(x²)/x + K1/x pour x dans ]-oo ; 0[
y = (1/2).sin(x²)/x + K2/x pour x dans ]0 ; +oo[

Avec K1 et K2 des constantes réelles.
-----

Ok, merci.