bonjour

développer l'expression puis séparer parties réelles et imaginaires

qui doivent être ,toutes les deux égales  à zéro


bon courage

salut cva.
merci pour ton conseil mais j'ai trouvé une méthode de résolution en s'appuyant sur le fait que cette equation admet 2 solutions conjuguées.
Là voilà:
* on pose z₁ , z₂ et z₃ les solutions de cette equation; avec z₂=z₃barre
* on pose S=z₁+z₂ et P=z₁.z₂
* on pose E= Z³ - (2+i)Z² - (3-4i)Z + 10-5i = 0
* on a alors: E= (Z-z₁)(Z²-SZ+P)
on developpe la nouvelle E et par identification on trouve le système:
S+z₁= 2+i
P+Sz₁= (-3)+4i
Pz₁= (-10)+5i
On pose z₂=x+iy, après quoi il suffit de remplacer S par 2x et P par x²+y²; puis on exprime z₁ en fonction de x et de y (dans la 1ère équation) et le remplace dans les 2 autres équations par l'expression trouvée:
   -3x²+y²+4x+3+(2x-4)i=0
et -2x³+2x²+2y²-2xy+10+i(x²+y²-5)=0
* Dans chacunes des 2 équations, la partie réelle est égale à 0, de même pour l'imaginaire, ce qui donne que:
-3x²+y²+4x+3=0
x-2=0 <============================================> x=2
-x³+x²+y²-xy+5=0
x²+y²-5=0 <==================> y=1 ou y=(-1)
(vous pouvez vérifier les résultats sur les 2 autres equations)
** conclusion: z₂=2+i , z₃=2-i , et z₁= 2+i-2x = (-2)+i.
=> S_C={2+i , 2-i , (-2)+i}
Merci de votre attention!