Inscription / Connexion Nouveau Sujet
équation fonctionnelle
bonjour à tous! je suis devant un problème de maths qui me pose quelques soucis, et un coup de main ne serait pas de refus.
on note G l'ensemble des applications f de 
dans , continues sur , différentes de l'application nulle, et telles que pour tout couple (x,y) de nombres réels:
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
1.soient les fonctions cos(
x) et ch(x) avec réel. montrer qu'elles appartiennent à G.
2.soit f
G. montrer que f(0)=1 et que f est paire.
exprimer pour out x réel f(2x) à l'aide de f(x).
établir pour tout x réel et tout n
, une relation entre f((n+1)x), f(nx),f((n-1)x) et f(x).
3.soient f,gG et y. montrer que si f(y)=g(y) alors pour tout p, f(py)=g(py).
4.soient f,gG. on suppose qu'il existe un réel a>0 tel que f(a)=g(a) et pour tout x[0;a], f(x)
0 et g(x)0.
a.) montrer que pour tout n
, f(=g(
b.)soit x+* et n, un=. montrer que (un) converge vers x.
c.)en déduire que f(x)=g(x) et finalement que f=g.
si fG, on pose R(f)={x/x0 et f(x)=0}.
5.soit fG. on suppose R(f) non vide.
a.)démontrer que R(f) admet un plus petit élement A et que a>0. (indication: on montrera successivement que R(f) admet une borne inférieure a, puis on montrera qu'il existe une suite d'éléments de R(f) qui converge vers a et on l'utilisera pour prouver que aR(f); enfin on prouvera que a>0).
b.)soit x[0;a[. montrer que f(x)0.
c.)on pose = . montrer en utilisant le 4. que pour tout x réel,f(x)=cos(
x).
6.soit fG. on suppose que R(f) est vide.
a.)montrer que pour tout x réel, f(x)>0.
b.)on suppose qu'il esxiste b réel tel que f(b)<1 et on pose un=.
montrer que un+1=2(un)2-1.
prouver que pour tout n , 0<un<1 et que la suite (un) est décroissante.
en déduire que la suite converge et montrer que sa limite vaut 1. trouver une contradiction.
c.)il en résulte que pour tout x réel, f(x)1. montrer qu'il existe tel que ch()=f(1).
montrer enfin que pour tout x réel, f(x)=ch(x).
conclusion: G est l'ensemble des fonctions x
cos(x) et xch(x) pour
rebonjour. j'ai oublié de dire où sont mes difficultés. à la première question, je n'arrive pas à prouver que ch appartient à G. je trouve ch((x+y)) +ch((x-y))=ch(x)ch(y)
je ne trouve pas où est mon erreur. merci de m'aider
bonjour utilise la relation ch(ax+ay)=ch(ax)ch(ay)+sh(ax)sh(ay)
et ch(ax-ay)=ch(ax)ch(ay)-sh(ax)sh(ay)
merci san! effectivement, vu comme ainsi ça marche beaucoup mieux que d'essayer de developper l'équation avec des exponentielles.
ensuite la question 2 j'arrive pas à montrer que f(0) vaut 1. je pose x=y=0 mais ça ne m'avance pas plus que ça.
par contre la parité et la relation entre f(2x) et f(x) je crois que c'est bon. je trouve
si tu pose x=y=0 tu va trouver que f(0)2=f(0) donc f(0)=0 ou 1
alors si f(0)=0 en remplaçant y par 0 on trouve que pour tout x dans f(x)=0 ce qui est absurde car f est non nulle et parsuite f(0)=1
pour la question suivante, est-ce qu'il s'agit d'établir une relation entre les 4termes, ou entre chaque terme et f(x) séparément à l'aide d'une récurrence?
mais pour la suite, je vois pas trop comment faire en partant du seul principe que f et g appartiennent à G
vu la question précedente il me semble qu'il faut raisonner par rècurrence sur p et puis deduire que c'est valable sur à partir de la parité de f et g
dsl je ne sais pas faire mais vu que t'est en sup tu pourrais m'en donner un toi ?
c bon, j'ai compris pour la récurrence. je me sers de la relation que j'ai établi entre les 4termes, et je procède par équivalence.
f(y)=g(y), f((p-1)y)=g((p-1)y) etc
et en sommant, j'ai la relation d'équivalence,et la récurrence est achevée!
j'avance petit à petit, mais j'avance! thanks pour le coup de main encore san.
rebonjour! j'ai un souci avec la question 4.b ; je suppose qu'il s'agit d'une récurrence avec prédecesseur sur n entier, à l'intérieur de laquelle on incluerait une récurrence sur x réel positif ou nul. mais je ne vois pas trop comment faire.
mon idée c'était de prouver la srticte monotonie de la suite, et de montrer qu'elle admet un extremum, mais ça se révèle assez difficile parce que en faisant ainsi je ne tiens pas vraiment compte du x.
donc, je voudrais encore un petit coup de pouce! merci
tu sais que x-1< E(x) 
x pour x > 0 alors tu encadre un et tu deduie la limite grace au théorème des gendarmes
n'essaies pas de compliquer les choses il suffit de chercher la methode la plus simple
et non x-1 < E(
)
est ce que tu ne trouve pas cette inegalité ?
pour la suite,je pars du principe que R(f) est non vide, donc il existe A ensemble des minorants de R(f). A est majorée par a car R(f) est défini comme l'ensemble des x réels tels que x0 et f(x)=0 et de plus pour x=a, f(x)0 . (ceci pour montrer que R(f) admet une borne inférieure)
R(f) est une suite de réels positifs, mais comment montrer qu'elle converge vers a .
j'admet que R(f) converge vers a. on sait de plus que a est la borne inférieure de R(f). donc aR(f).
pour dire que R(f) admet une borne inf il suffit de montrer que R(f) est minoré et il est minoré par 0
oui justement R(f) est minorée par 0.mais le problème avec l'énoncé c'est que par la suite, on doit montrer que la borne inférieure de R(f) qui vaut a, est strictement positive.
Salut nisha
5.a
Rf est non vide (par hypothèse) et minorée par 0 donc admet une borne inférieure a
On a evidemment
a = inf Rf
Donc il existe une suite () de point de Rf qui converge vers a
Par continuité de f on a :
qui converge vers
donc f(a) = 0
donc
donc a = min Rf
de plus si a=0 alors f(a) = f(0) = 1 donc
Conclusion : a > 0
5.b
soit
Par l'absurde si f(x) < 0
alors puisque f(0)=1>0 et que f est continue, d'apres le TVI, il existe tel que f(b)=0
Donc et
donc contradiction avec a = min Rf
Conclusion : f(x)>=0
5.c
On pose
d'apres les questions precedentes on a trouvé a > 0 tel que :
f(a) = 0 = g(a)
D'apres la question 4,
de plus f(0) = g(0) = 1
et si ,
donc
donc (car f et g sont paire)
Conclusion :
pour la question 6.b on suppose que f(x)<0 pour tout x dans R+ et on a f(0)=1>0 donc d'apres le theorème des valeurs intermediaires on a l'existence d'un b ]0,x[ tel que f(b)=0 ce qui est absurde d'ou le resultat et par la parité de f on deduit que f>0
merci beaucoup, j'ai réussi à terminer l'exercice et désolée pour la réponse tardive, j'ai pas le net en semaine. mais bon mis à part ça, il était pas si difficile l'exo, enfin quand on avait les bons réflexes! merci san et Matouille2b! bonne soirée
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac