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Equation fonctionnelle.
Bonjour, bonjour. 
Voila, j'ai lu les règles du forum, je sais qu'il ne faut pas poster l'énoncé brut... seulement voila, je me suis fait opérer hier, je suis constamment sous antalgiques, et pas moyen de tenir un raisonnement organisé... alors qu'il me reste que ce DM pour la reprise...
Je vous serais donc reconnaissant de m'aider à me sortir de là 
Voila le problème posé :
Le but de ce problème est de déterminer les applications f : R+ > R vérifiant les deux conditions suivantes :
1. f est sur-additive : 
(x,y) 
(R+)², f(x+y) 
f(x) + f(y);
2. f est multiplicative : (x,y)(
+)²,f(xy)=f(x)f(y).
Partie I, un exemple :
Soit 
un nombre réél supérieur ou égal à 1.
1. Montrer que pour tout x +, (1+x)^1+x.
2.En déduire que : (x,y) (+)², (x+y)^x^+y^.
3. On considère la fonction f définie par :
x+, f(x)=x^
Montrer que f est une solution du problème posé.
Partie II : Généralités
1. Quelles sont les fonctions constantes du problème ? Dans la suite, on suppose que f représente une solution non constante du problème posé.
2. Calculer f(0) et f(1).
3. Montrer que : x+, n
, f(x^n)=nf(x).
4. Montrer que : x+*, f(x)
0 et f(1/x)=1/f(x).
5. Montrer que : x+*, f(xo+*
6. Montrer que f est croissante.
J'ai aussi une Partie III, mais j'espère que comprendre les parties I et II m'aideront à appréhender la troisième. =/
Je compte sur votre soutien 
Merci d'avance & bonne soirée.
bonsoir,
1)tu étudies la différence sur R+
2)*supposons y>x
en utilisant le 1)
puisque
et
*x>y même technique
*x=y
puisque
3) pas de problème je pense?
dans la seconde partie
2)pour trouver f(0) tu fais x=y=0
f(1) tu fais x=y=1
3)tu sais que f(x.x)=f(x)f(x) donc f(x²)=f(x)²
tu vas faire une récurrence
hypothèse de récurrence:il existe un entier n tel que f(xn)=f(x)n
tu calcules ensuite f(xn+1)=f(xn.x)=f(xn)f(x)=f(x)nf(x)
4) x n'est pas nul ,tu poses y=1/x soit xy=
f(xy)=f(1)=>f(x)f(y)=f(1) d'où f(y)=...
Merci pour les pistes de réflexions, seulement, dès le début, je ne vois pas comment étudier la différence (1+x)^-(1+x)...
Quelqu'un pourrait-il m'éclaircir ? svp ?²
Tu veux dire résoudre les questions en passant à chaque fois l'égalité en logarythme ? Ok, j'essaye, merci.
Y'a rien à faire, rien que sur cette première question, je bloque... ><
Résumons, je dis que si :
(1+x)^a 1 + ax
Alors ln (1+x)^a ln ( 1+ax )
Alors a * ln ( 1+x ) ln ( 1+ax )
Mais après... :$
On a le droit de dire que si f(x) > g(x), alors f'(x) > g'(x) ?
Faut vraiment que j'arrête ces médocs moi, incapable de réfléchir...
Je vois ce que tu veux dire dans le cas général, le souci c'est que ces "équations fonctionnelles" me semblent totalement floues ( j'ai encore jamais vu ça ), et du coup, même dans le cas présent j'ai beaucoup de mal à mettre en application...
Tu pourrais m'expliquer plus clairement s'il te plait ?
( Arf, le pire c'est que cette question doit représenter 2% du DL... )
Ben les derivees de a log(1+x) et de log(1+ax) sont a/1+x et a/1+ax respectivement.
Comme a/1+x>=a/1+ax, et que pour x=0, alog(1+x) et log(1+ax) sont égaux.
on en deduit alog(1+x)>=log(1+ax)
D'accord, cette fois j'ai compris ( en même temps là j'aurais été grave.. ), je te remercie.
Une dernière question ( pour le moment, j'ai compris bon nombre des questions suivantes, ouf... ), si c'est pas trop abuser :
Pour le petit 2) de la partie I, tu approuves le raisonnement de velleda ?
Bonjour,
La question étant "En déduire ...", veleda a utilisé ce qu'elle avait démontré dans la première question et c'est aussi ce j'aurai fais.
Maintenant, je ne vois pas l'intérêt d'étudier les trois cas : x > y , x < y et x = y
En revanche, je pense qu'il est nécessaire, avant de mettre x en facteur, d'étudier le cas particulier : x = 0 .
Mais toi, tu as une autre idée ?
bonjour,
attention quand tu étudies le signe de /(1+x)-/(1+x) le numérateur c'estx(-1) il n'est positif que parce que 1 il ne faut pas oublier de le mentionner
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