bonsoir

tu n'as pas l'impression de poster deux fois la même question ?

relis ce que tu as écrit !

excusez moi ^^
c'est g(x+y)=g(x)+g(y)+xy

ah ok !

tu es sûr cette fois ?

Si g est une candidate:

1.montre que , pour n , g(n) s'exprime facilement en foction de n et g(1).

2.Passe aux p/q  (p , q *.

3.Utilise enfin la densité de dans

Oui , j'en suis sûr: g(x+y)=g(x)+g(y)+xy
Par-contre j'ai essayé d'exprimer avec g(1) mais je ne vois pas et pourquoi  raisonner sur N alors que g et f sont définies sur R ?
Merci!

salut
ce que preconise kybjm ne marche pas parfaitement alors je prends plus simple
en supposant que la fonction est derrivable en 0 puisque f(o)=0,
et on a la reponse

Oui , je n'avais pas lu la rectification : ce que je proposais concernait les f à trouver .

Il y a 2 façons de trouver l'ensemble S formé des g : continues telles que g(x + y) = g(x) + g(y) + xy pour tout  (x,y) ²  .



A.Première façon :On remarque que l'application h : x xl²/2  est dans S de sorte que si g   S , f = g - h est additive (g(x) + g(y) + xy pour tout  (x,y) ²)
donc de la forme x x
Inversement toutes les h x x²/2 + x   sont dans S .

A.deuxième façon : (On n'a rien remarqué)
  1.
Soit g   S . Posons G : x ₀^x g .
Pour tout  x on a G(x + 1) = G(x) + ₀¹ g(x + t)dt = G(x) + G(1) + g(x) + x/2 .
g est donc dérivable et pour tout x on a :g(x + 1) = g(x) + g '(x) + 1/2 et donc aussi g(x) + g(1) + x  = g(x) + g '(x) + 1/2 .
Il existe donc  c tel que g : x x²/2 + (g(1) - 1/2)x + c . Comme g(0) = 0 on a c = 0.
La conclusion de cette analyse est S { h | }
2.
Il est facile de voir que  { h | } S de sorte que S = { h | }

Je ne comprend pas très bien la méthode A: comment avez-vous trouver que x^2/2 appartenait à S ?

Je suis parti avec la deuxième méthode. Puis , à la relecture de ton sujet ,j'ai pensé que votre prof avait en tête de vous faire deviner la première méthode.

salut
d'une facon plus simple avec la methode des varriations ca peut facilement se resoudre

Qn pourrait-il m'expliquer plus en détail la métode A s'il vous plaît?Merci!

Si h : x x²/2  on a , pour tout (x,y), h(x + y) = (x + y)²/2  =  x²/2 + y²/2 + xy = h(x) + h(y) + xy .
Si g vérifie la même ptopriété alors f = g - h vérifie : " (x,y) f(x +y) = f(x) + f(y) "

Si g est continue alors f l'est aussi.

f(x+y) = f(x)+ f(y)
g(x+y)=g(x)+g(y)+xy
h(x+y)=h(x)+h(y)+xy
En retranchant: (g-h)(x)+(g-h)(y)= (g-h)(x+y) donc est du type de f
d'où g(x)-h(x)= ax ie g(x)=ax +x^2/2
Si c'est bien ça, c'est que j'ai bien compris. Merci!