Peut-on utiliser un minimum de formules de politesse, genre bonjour et merci ?

Désolé mais c'est ma première question ......

Merci à tous ceux qui voudront bien me donner des idées.......

D'où sort la condition "p une fonction continue 1-périodique nulle pour les valeurs entières" ???
On a :
En supposant :
f(x) = ax + b + p(x)
on a bien :
f(x+1) - f(x) = a + p(x+1) - p(x)
donc toute fonction p telle que p(x+1) - p(x) = 0, autrement dit toute fonction 1-périodique convient, et je ne vois rien qui justifie un comportement particulier de p aux valeurs entières de x...

Merci de me proposer une question.

J'ai montré que, pour toutes valeurs entières m, on a f(m)=am+b et donc p(m)=0, j'aimerais bien montrer que, pour tout rationnel r, f(r)=ar+b mais je n'y arrive pas sinon ce serait gagné par la densité de Q dans R et la continuité de f.

Désolé mais j'ai l'impression que tu ne nous a pas tout dit sur l'énoncé...
Comment as-tu fait ta preuve dans ton post de 14h48 ?

A ce soir assez tard...
LeHibou

Bonjour

On ne peut rien dire de plus. La fonction est continue et vérifie f(x+1)=f(x) pour tout x!

Salut LeHibou _{A ce soir assez tard... à l'heure où les chouettes sont de sortie?}

Bonjour,

Soit f la fonction définie par f(x)=ax+b+sin(2 pi x) alors :
f(x+1)=ax+a+b+sin(2 pi x+2pi)=a+ax+b+sin(2 pi x)=a+f(x)
Donc on ne peut pas montrer que p=0..........
Merci........

LeHibou a bien compris que je n'avais pas tout écrit, en fait il s'agit de l'exercice suivant : soit f une fonction continue telle que f(x+1)=f(x)+2 montrer qu'il existe une fonction h continue telle que hof=2h et h(x+1)=h(x)+1.
Mon idée était de caractériser les solutions de l'équation fonctionnelle f(x+1)=f(x)+a mais comme notre fonction p 1-périodique n'est pas la fonction nulle alors on a un gros problème :
hof(x)=f(x)+c+q(f(x))=2x+b+p(x)+q(f(x))=2x+2c+2q(x), donc
b=c et 2q(x)=p(x)+q(f(x))...............
Cette approche ne semble plus la bonne .........

Salut Camélia, c'est l'heure de sortie des oiseaux de nuit...

On en est où de ce problème dont on découvre l'énoncé au fil de l'eau ?