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Equation fonctionnelle- fonction f de classe C^1 sur R
Bonjour,
Le but de l'exercice est de déterminer les fonctions f de classe C1 sur 
telles que:
(x,y)
2, f(x*f(y))=y*f(x)
1.a) Trouver f(0)
J'ai trouvé f(0)=f(0*f(y))= y*f(0)
Corrigez moi si nécessaire svp, merci.
b)Déterminer f si f(1)=0
f(x*f(y))=y*f(x) donc f(x*f(1))=1*
f(x) f(x)=f(0)
c)Montrer que y, f'(y)*f'(f(y))=f(1)
Ici je bloque un peu, j'ai essayé d'exprimer la dérivée de f(x*f(y)) mais je n'aboutis à rien aidez moi svp! merci
pour le 1-a celà ne suffit pas:On te demande de trouver une valeur numérique pour f(o); or si tu prends x=y=0 tu trouves
f(0*f(0))=f(0)=0*f(0)=0
d'où f(0)=0
pour le b il suffit de prendre x=1 alors f(f(y))=0*f(y)=0 soit f²(y)=0 au sens de la composition et ceci pour tout y réel.Ceci entraîne f(y)=0 y.
Pour le c pose x=1.Tu obtiens f²(y)=y*f(1).Comme la composée de deux applications dérivables est dérivable alors
En dérivant l'égalité il vient
Pour tout y réel f'(y)*f'(f(y))=f(1).
Suite de mon exercice:
d) Dans toute cette question on suppose que la dérivée f' de f ne s'annule pas sur
i) Montrer que f est strictement monotone sur
Puis-je dire que puisque la dérivée ne s'annule pas, elle garde donc un signe constant sur donc la fonction est monotone sur
ii)Trouver f(1)
Si on prend x=1 et y=1 on a: f(1*f(1))=1*f(1) f2(1)=f(1)
iii)En déduire que f est strictement croissante
On a montré que f est strictement monotone et on a déterminer f(1) et f(0) donc il faut vérifier que f(1)>f(0)f(1)>0.
On en déduira que f est strictement croissante.
iv) Montrer que y, f(f(y))=y
La je bloque je ne vois pas comment commencer...
Aidez moi svp et corrigez mes eventuelles erreurs, merci d'avance...
Bonjour, Pourriez vous corrigez mes éventuelles erreurs svp? merci.
d) Dans toute cette question on suppose que la dérivée f' de f ne s'annule pas sur
i) Montrer que f est strictement monotone sur
Puis-je dire que puisque la dérivée ne s'annule pas, elle garde donc un signe constant sur donc la fonction est monotone sur
ii)Trouver f(1)
Si on prend x=1 et y=1 on a: f(1*f(1))=1*f(1) f2(1)=f(1)
iii)En déduire que f est strictement croissante
On a montré que f est strictement monotone et on a déterminer f(1) et f(0) donc il faut vérifier que f(1)>f(0)f(1)>0.
On en déduira que f est strictement croissante.
iv) Montrer que y, f(f(y))=y
La je bloque je ne vois pas comment commencer...
Aidez moi svp et corrigez mes eventuelles erreurs, merci d'avance...
d) Dans toute cette question on suppose que la dérivée f' de f ne s'annule pas sur
désole je reposte erreur dans l'énoncé.
i) Montrer que f est strictement monotone sur
Puis-je dire que puisque la dérivée ne s'annule pas, elle garde donc un signe constant sur donc la fonction est monotone sur
ii)Trouver f(1)
Si on prend x=1 et y=1 on a: f(1*f(1))=1*f(1) f2(1)=f(1)
iii)En déduire que f est strictement croissante
On a montré que f est strictement monotone et on a déterminer f(1) et f(0) donc il faut vérifier que f(1)>f(0)f(1)>0.
On en déduira que f est strictement croissante.
iv) Montrer que y, f(f(y))=y
La je bloque je ne vois pas comment commencer...
Aidez moi svp et corrigez mes eventuelles erreurs, merci d'avance...
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