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Niveau terminale
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Equation linéaire de premier ordre avec second membre constant

Posté par
cnomand 30-01-14 à 15:17

On a y'-4y=2
Apres différenciation j'obtient (dy/2+4y)=dx
A ce niveau la je veux intégrer mais mon prof écrit ceci: 1/4(4/2+4y)*dy=dx
Je ne comprend pas pourquoi faire cet étape? pouvez vous m'expliquer?

mon résultat en intégrant directement est: y= K*(e^x)-(1/2)
Alors qu'en faisant comme le prof j'obtient y= K*(e^x4)-(1/2)

Voila je ne comprend pas et ne vois pas pourquoi multiplier par 1/4 et si indispensable que ca?

Posté par
carpediemre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 16:14

salut

incompréhensible ... "après différentiation" signifie quoi ?


y' - 4y = 2 <=> \frac {dy}{dx} - 4y = 2 <=> dy - 4ydx = 2dx

par contre

y' - 4y = 0 <=> \frac {dy}{dx} = 4y <=> \frac {dy}{y} = 4dx <=> y = ke^{4x}


et évidemment y = -1/2 est une solution particulière de l'équation y' - 4y = 2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 16:16

Bonjour,
Tes topics ne me semblent pas du niveau terminale

Je réponds avec des méthodes de terminale :
Il est clair que les solutions contiennent du e4x . En effet l'équation sans second membre y'-4y=0 a pour solution générale k e4x avec k réel quelconque.

Quand tu crois avoir trouvé une solution, il faut la vérifier ; ton K*(e^x)-(1/2) ne vérifie pas y'-4y=2 .

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 16:58

Je recommence:

Alors j'ai cette EDO à résoudre: y'-4y=2
étape après étape:

(dy/dx)-4y=2

(dy/dx)= 2+4y

(dy/2+4y)=dx

A ce niveau la j'intègre et j'obtient ln|2+4y|=x+C  (""""")

ln|2+4y|=e^(x+C)

|2+4y|=e^x*e^C

2+4y= (+-)e^C*e^x    

y=((+-)e^C*e^x)/4)-2   je pose alors K=((+-)e^C)/4

y=(K*e^x)-1/2 Alors que le prof trouve cela y= K*(e^x4)-(1/2)car au niveau de (""""")il a multiplié par 1/4 ce qui pour moi n'a pas de sens. c'est en réalité le fait de multiplié par 1/4 que je comprend pas?

Posté par
mc2re : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 16:59

Salut,

ton prof veut faire apparaitre le 4 qui provient de la dérivée de 4y pour que vous le voyez immédiatement

Quand tu as intégré directement tu as oublié de mettre 4

\\ \Large \\ \displaystyle \frac{dy}{2+4y} = dx   \\

\\ \Large \\ \frac{1}{4}\frac{d(2+4y)}{2+4y} = dx   \\

Après intégration

\\ \frac{1}{4}\ln (2+4y) = x + c   \\


\\ \large \\ 2+4y = e^{4x + 4c}   \\

\\ \large \\ 4y = c' e^{4x} - 2       (c' = e^{4c}) \\

Donc

\\ \large \\ \fbox{$y = k e^{4x} - \frac{1}{2}$}     (k  = \frac{c'}{4}) \\

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:01

En fait comment sait t'on qu'il faut a ce niveau la multiplier par 1/4 ?

Posté par
mc2re : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:01

Il n'a pas multiplié par 1/4 il a multiplié par 1/4 fois 4 ce qui fait qu'il a multiplié par 1

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:02

OKK d'accord mais comment on fait pou le savoir?

Posté par
mc2re : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:03

Essaye de dériver

\ln(2+4y)

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:03

Oui j'ai bien compris ce qui revient a 1 mais cependant ca change la solution. Mais comment savoir?

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:07

ln(2+4y)

en dérivant j'obtient (2y+1)/y

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:08

Je viens de comprendre merci bien!!

Posté par
mc2re : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:09

Citation :
en dérivant j'obtient (2y+1)/y


:?

Posté par
carpediemre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:13

et pourquoi compliquer quand on peut faire simple ... en particulier quand cette simplicité est la méthode générale d'une équation différentielle ...

1/ résolution de l'équation sans second membre
2/ détermination d'une (des) solution(s) particulière(s)
3/ somme du tout ...

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:22

ln(2+4y)

ln(u)'=u'/u avec u=2+4y et u'=4

ln'=4/2+4y et j'ai juste simplifié =(4/2)+(4/4y)=2+(1/y) et puis j'ai tout mis sur y ce qui donne (2y+1)/y
Ou est la faute?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:25

Tout à fait d'accord avec Carpediem

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:25

J'ai compris ce que tu voulais dire! encore merci!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:26

Je pense que la faute est dans u' : Si u = 2+4y alors u' = 4y' .

Posté par
mc2re : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:31

Désolé je n'ai pas précisé par rapport à quoi il faut dériver donc c'est par rapport à y

Posté par
cnomandre : Equation linéaire de premier ordre avec second membre const 30-01-14 à 17:33

Ahhh d'accord je comprend mieux haha


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