Bonjour à tous, voilà je m'adresse à vous aujourd'hui car j'aurais besoin de votre aide :

voilà mon problème:
1)On pose l'équation (E) : x⁷ + 6x⁴ + 5x³ - 3x² - 31x + 2 = 0
Et on nous demande dans un premier temps de montrez que cette équation (E) possède une solution entière , et de dire s'il s'agit de : -2, -1, 1 ou 2 .

Ici la réponse est 2, mais je ne vois pas comment pouvoir démontrer que l'équation possède une solution entière ... j'ai pensé à calculer delta , mais je l'ai jamais fait au 7ème degré!

2) Ensuite , on nous demande de montrer que si p et q sont premiers entre eux, alors p et qⁿ ( n appartenant à ) sont aussi premiers entre eux.

pour cela on procède par récurrence, en appliquant le thérorème de Bezout
on veut montrer : PGCD ( p, qⁿ ) = 1 ?
          donc  : PGCD ( p, q*q^(n-1) ) = 1 ?
          On initialise la récurence en posant n = 1
cela nous donne : PGCD (p,q) = 1  (car p et q sont premiers etre eux )
donc cela est vrai au rang n = 1
maintenant on veut montrer que PGCD ( p, p^(n+1) ) est vrai
donc à un rang n donné, on admet PGCD ( p, q^n ) = 1
d'après le théorème de Bezout :
    pu + qv = 1 ( on l'appelle l'équation a )
    pu'+ qⁿv' = 1 ( on l'appelle l'équation b )
on fait le produit de l'équation a et b et on obtient :
    pU + qⁿ⁺¹V = 1
alors PGCD ( p,qⁿ⁺¹) = 1
donc pour tout n appartenant aux entiers , si PGCD (p,q⁽ⁿ⁺¹⁾) = 1
est vraie alors PGCD (p,qⁿ) = 1 est vrai

3) Ensuite c'est la que ça ce gâte...
je vous note les questions, j'espère que vous pourriez m'aider à trouver les solutions car j'ai due passer les 3 quart de mes vacances sur cette recherche qui finalement n'a aboutie à aucun résultat...

Soit n * , on considère à présent l'équation (E) :
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0
où a₀, a₁,...a_n sont des entiers relatifs avec a_n 0.

  a) On supposera également que l'on a choisi p et q de sorte que la fraction x = p/q soit irréductible ( PGCD (p,q) = 1 ).

En applicant le théorème de Gauss, montrer que p divise a₀ et que q divise a_n.

( pour montrer que p divise a₀, j'ai fait en factorisant par p/q et j'aboutie au résulta souhaité mais je n'arrive pas à m'y retrouver en voulant réappliquer cette méthode pour a_n )

  b) Enoncer un critère permettant de connaître les rationnels solutions d'une équation polynomiale à coefficients entiers.

4) L'appliquer en déterminant les racines des équations :
  a)4x³ - 7x² - 12x + 21 = 0
  b)30x³ - 31x² + 10x - 1 = 0.

  c) Soit a un entier, et l'équation 2x⁷ + ax³ - 3 = 0. Si l'on suppose que cette équation a une racine rationnelle, quelles peuvent être les valeurs possibles de a ?

  d) L'équation 5x⁵ - 12x⁴ - 24x³ + 28x + 6 = 0 possède-t-elle une racine rationnelle ?


Pour ces dernières questions, je prend les diviseur de p et q et j'essaye a la calculette les multiple possibilité pour que cela fasse 0 mais je doute que ce soit cela.

Merci d'avance pour votre aide .