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Equations différentielles (3)

Posté par
olive_68 05-10-09 à 21:04

Bonsoir

Je ne comprends pas comment on obtient ça :

3$y^' ^'+2y^'+4=0 \ \Longright \ e^{-x}\[a\cos(\sqrt{3}x)+b\sin(\sqrt{3}x)\]

Bien trouvé les racines complexes conjuguées 3$z=-1\pm \sqrt{3}i mais ensuite c'est l'impasse..


Merci d'avance

Posté par
yoyodadare : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:08

N'est-ce pas y"+2y'+4y=0 plutôt ?

Posté par
olive_68re : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:11

Re

Oups si un 3$y est passé à la trappe ..

Posté par
Rudire : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:13

bonjour

2 racines complexes => y = e^(réelle.x).( a.e^(imaginaire.x)+b.e^(imaginaire.x) )

Rudy

Posté par
olive_68re : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:24

Bonjour Rudi

Oui mais comment choisir entre les racines complexes ? (J'en trouve deux moi ..)

Posté par
Rudire : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:28

les coeff de l'eq caract. sont réels , les racines sont conjuguées : réelle plus ou moins i.imaginaire

Rudy

Posté par
yoyodadare : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:37

En fait tu as généralement deux racines complexes conjuguées, r_1 et r_2, de même partie réelle \alpha et de partie imaginaire +/- \beta

La solution est donc y(x)=C_1.e^{r_1.x}+C_2.e^{r_2.x}=e^{\alpha .x}.[C_1.e^{i\beta .x}+C_2.e^{-i\beta .x}] \\ =e^{\alpha .x}.[(C_1+C_2).cos(\beta .x)+i(C_1-C_2) .sin(\beta .x)]

Or si y est une solution complexe de l'équa diff, alors il est facile de voir que Re(y) et Im(y) sont les deux solutions réelles de l'équa diff, et donc la solution générale de l'équa diff en est la somme, soit e^{\alpha .x}.[(C_1+C_2).cos(\beta .x)+C_1-C_2) .sin(\beta .x)]
Il ne reste plus qu'à appliquer ton résultat ici

Posté par
Rudire : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:41

bonsoir yoyodada

y'a pas un i qui traîne avant (C1-C2) ?

Rudy

Posté par
olive_68re : Equations différentielles (3) 05-10-09 à 21:45

Merci beaucoup pour l'explication !!
C'est surement pas trop compliqué une fois la méthode comprise mais la je suis comme au collège, je suis devant des expressions mathématiques mais je ne sais pas quoi en faire ..

Merci pour le coup de pouce


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