Soit U un intervalle ouvert de (  donc U = ou U est de l'une des fomes suivantes : ]s , t[ , ]s , + , ] - ,t[  )
On te donne a et b  des applications continues de U dans et on te demande de
trouver l'ensemble S des applications dérivables y : telles que y ' + a.y = b .

Soit A une primitive de a.
   1.  Soit y S . Posons , pour x U , Y(x) = y(x)e^A(x) . Y et dérivable et Y '(x) = ..= b(x)e^A(x) = h(x) .

On prend une primitive H de x b(x)e^A(x) .
Comme U est un intervalle et Y - H  a une dérivée nulle elle est constante et si est la seule valeur qu'elle prend Y = H + donc y = e^-A(H + .
La conclusion de cette partie est donc S E = { .e^-A + H.e^-A }

2.Il reste à montrer que  E S pour avoir "résolu l'EDL1 y ' + a.y = b . Mais ça c'est facile.

3.Tout revient , dans ton exemple , à trouver une jolie formule pour ₀^xt.exp(-3t/2)cos(t)dt  
Si on a une formule pour ₀^xte^tdt où = + i 0  , et réels , prenant la partie réelle de ce qu'on a trouvé  on aura gagné.
Tu pars alors de F(x) = ₀^xe^tdt = (e^x - 1)/

   qui vaut aussi (par un IP ) xe^x - .F(x)

Bonjour,

2y' + y = x*exp(-x)*cosx
Les solutions de l'Eq. sans second membre  2y' + y = 0 sont :
y = C*exp(-x/2)
On remplace la constante par une fonction f(x) inconnue :
y = f*exp(-x/2)
y' = (f'-f/2)*exp(-x/2)
2y'+y = (2f'-f+f)*exp(-x/2) = x*exp(-x)*cosx
2*exp(-x/2)*f' = x*exp(-x)*cosx
f' = (1/2)*x*exp(-x/2)*cosx
On intègre, ce qui donne :
f = (-(2/5)*x*cosx +(4/5)*x*sinx +(12/25)*cosx +(16/25)*sinx )*exp(-x/2)
y = (-(2/5)*x*cosx +(4/5)*x*sinx +(12/25)*cosx +(16/25)*sinx )*exp(-x)

Note : pour l'intégration de (1/2)*x*exp(-x/2)*cosx, il y a différentes méthodes.
Par exemple, on peut chercher une primitive de la forme :
(A*x*cosx +B*x*sinx + C*cosx +D*sinx)*exp(-x/2)
et calculer A, B, C et D par identification.
Une autre méthode consisterait à remplacer cosx par (exp(ix)+exp(-ix))/2 , ce qui conduit à intéger des fonctions plus simples, de la forme k*x*exp(a*x) avec k=(1/4) et a=i-1/2 ou a=-i-1/2 dont les primitives sont aisées à obtenir.

Bien entendu, la fonction y(x) trouvée est une solution particulière. Pour l'expression de la solution générale, il faut lui ajouter C*exp(-x/2).

Merci pour ces deux méthodes!Meme si au final mon but était d'avoir une méthode sans passer par la résolution dune intégrale du type f(x)*e^(ax)*cosx.dx .
en fait ca serait justement la méthode ou on remplace cosx par (e^(ix)+e^(-ix))/2 que j'aimerais qu'on me détaille
si cela est possible

c'est cette méthode qui apparemment est très logique mais avec laquelle je n'ai encore pas trouvé un exemple détaillé (peu importe lequel c'est pour pouvoir comprendre comment ca marche)...

:s

Citation : << en fait ca serait justement la méthode ou on remplace cosx par (e^(ix)+e^(-ix))/2 que j'aimerais qu'on me détaille >>
Tout cela revient au même. Tu peux voir dans mon post précédent qu'une méthode pour simplifier l'intégration consiste à remplacer cosx par (e^(ix)+e^(-ix))/2. C'est bien ce que tu voulais, non?
Mais tu peux aussi bien le faire dès le début en écrivant l'équation :
2y' + y = x*exp(-x)*(1/2)*(exp(ix)+exp(-ix))
S'agissant d'une équation différentielle linéaire, une solution particulière sera la somme d'une solution particulière de
2y' + y = x*exp(-x)*(1/2)*exp(ix)
et d'une solution particulière de
2y' + y = x*exp(-x)*(1/2)*exp(-ix)
tu aura donc à trouver une solution particulière d'équation de la forme :
2y' + y = b*x*exp(a*x)
avec b=1/2 et a=-1+i ou a=-1-i
Après toutes les étapes pour cette résolution, tu tomberas sur exactement les mêmes intégrales que celles de mon post précédent.
Tout cela revient au même, ce sont des variantes de présentations. L'avantage de remplacer cosx par (exp(ix)+exp(-ix)/2 est seulement de devoir intégrer une fonction un peu plus simple (ne contenant que des exponentielles au lieu d'un produit exponentielle*cosinus).

ahh okay merci beaucoup! c'est ce que je voulais savoir