Bonsoir.

Une équation différentielle c'est une équation qui met en jeu une fonction et ses dérivées. Je dis "ses" dérivées car une fonction a plusieurs dérivées, la première, deuxième, troisième, etc.

La dérivée première c'est la dérivée classique : f'. La dérivée deuxième c'est la dérivée de la dérivée, donc la dérivée de f', qu'on note f'', etc. C'est donc un concept défini par récurrence.

Alors en terminale, je ne sais pas si les programmes ont changé, mais moi je ne voyais que les équations différentielles du premier ordre, c'est-à-dire une équation qui fait intervenir une fonction, notée y, et sa dérivée première seulement, notée y'.

On cherche donc à résoudre : ay'+by+c=0, où (a,b,c)³.

Le cas a=0 n'est pas intéressant, car ce ne serait plus une équation différentielle, mais seulement une équation de y. On prend donc a0, ce qui permet de diviser par a, et donc on est amené à résoudre :

y'+(b/a)y=c/a, que l'on peut noter y'+Ay=B, où (A,B)².

Remarquons que l'on peut noter l'équation différentielle de plusieurs manières :
ay'+by+c=0
y'+ay=b
y'=ay+b
y'+ay+b=0
Ces notations représentent toutes les trois des équations différentielles du premier ordre, mais bien sûr pour qu'elles soient équivalentes, les "a" et "b" entre chaque ligne ne sont pas les mêmes.

Revenons donc à nos moutons avec y'+ay=b.
Si b0, cette équation est dite "avec second membre", le second membre étant le "b". On lui associe une équation dite "sans second membre" qui est : y'+ay=0. Une telle équation est dite homogène.

Cherchons donc à résoudre l'équation la plus simple, l'équation homogène y'+ay=0, ou alors y'=ay (attention le "a" n'est pas le même dans les deux).
Il y a un cas particulier, si a vaut 1, on a alors y'=y, et ça on sait que la fonction exponentielle est justement solution. On se doute donc que pour une équation de type y'=ay, il y aura de l'exponentielle dans l'air. En effet, les fonctions y solutions de y'=ay sont les fonctions :
y:xKexp(ax), où K. Tu peux vérifier qu'une telle fonction y vérifie y'=ay, et ce sont les seules.

Ensuite, pour résoudre l'équation y'=ay+b, alors les solutions y sont de la forme :
y:xKexp(ax) -b/a, où K

Que remarque-t-on pour la forme générale d'une solution de y'=ay+b ? On remarque que c'est la somme de deux termes : le premier terme est Kexp(ax), qui est la solution de y'=ay, qui n'est autre que l'équation sans second membre associée à y'=ay+b.
Le deuxième terme est -b/a. Il n'est pas choisi au hasard, en fait la fonction y:x-b/a (qui est donc une fonction constante) est une solution particulière de l'équation avec second membre y'=ay+b.
En effet, si y:x-b/a, alors y'=0, et ay+b=a(-b/a) + b=0, c'est donc bien une solution particulière.
Cette remarque te permettra peut-être de mieux retenir la forme générale de la solution.

En espérant que c'est un peu plus clair

Bonsoir.

Tu peux très bien chercher "équation différentielle".

Pour faire simple, en terminale, ça sera simplement des équations du type

où est l'inconnue à chercher et non ,   des réels avec .

On note plus généralement, où est une fonction.

Pour résoudre ce genre d'équations, on procède en deux étapes :

- on cherche la solution de l'équation homogène
- on cherche une solution particulière.

En clair,   .

• Pour résoudre l'équation homogène, on résout :



Cette équation a pour solution homogène : où est une constante réelle.

• On cherche une solution particulière, une seule suffit. On veut donc :



Une solution, que l'on cherchera simple, est par exemple . Pourquoi ? Parce que ça marche.

Donc la solution générale de l'équation est .