C'est hors programme tu sais ?

As-tu trouvé une solution particulière et/ou l'ensemble des solutions homogènes ?

non, j'y arrive pas avec cette équation

D'abord l'ensemble des solutions homogènes alors.
Normalement tu sais quelle forme elles prennent

Pour les solutions homogènes je trouve:

y = K*cos(x)

K appartient à R

C'est bien.

Maintenant la solution particulière. De quelle(s) stratégie(s) disposes tu ?

J'ai essayé de faire une substitution:

y' + ytan(x) = sin(2x)

g(x) = sin(2x) = y

Donc: g'(x) + g(x)tan(x) = g(x)

Ce qui donne:

2cos(2x) + sin(x)tan(x) = sin(x)

et après je sais pas...

Non ce que tu fais est faux...

Connais tu la méthode de variation de la constante ?

Méthode 1:

y' + y.tan(x) = sin(2x)  

Poser y = u.v
y' = uv' + u'v

uv' + u'v + u.v.tan(x) = sin(2x)
u(v' + v.tan(x)) + u'v = sin(2x)

Cherchons une expression de v telle que v' + v.tan(x) = 0
v'/v = -sin(x)/cos(x)
ln|v| = ln|cos(x)|
v = cos(x) convient.

L'équation devient alors : u'.cos(x) = sin(2x)
u' = 2.sin(x)
u = -2.cos(x) + K

y = (-2.cos(x) + K).cos(x)  sur]Pi/2 + k.Pi ; Pi/2 + (k+1)Pi[ avec k dans Z
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Méthode 2:

Solutions de y' + y.tan(x) = 0
y'/y = -sin(x)/cos(x)
ln|y| = ln|cos(x)|
y = K. cos(x)

Solution particulière de y' + y.tan(x) = sin(2x)
y = f.cos(x)
y' = f'.cos(x) - f.sin(x)

f'.cos(x) - f.sin(x) +  f.cos(x)*tan(x) = sin(2x)
f'.cos(x)  = sin(2x)
f'.cos(x) = 2.sin(x).cos(x)
f' = 2.sin(x)
f = -2.cos(x)
y = -2.cos²(x)

Solutions générales de  y' + y.tan(x) = sin(2x) :
y = -2.cos²(x) + K.cos(x)  sur]Pi/2 + k.Pi ; Pi/2 + (k+1)Pi[ avec k dans Z
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Sauf distraction.