Bonjour,

C'est quoi précisement ton équation différentielle ?
Dans ce que tu as écrit, aucune dérivée de f n'intervient.

a oui pardon j'ai mal noté les choses

je part de f(2)+af(1)+bf=0   où  f(n) est la dérivée n-ieme .

Ok.

Alors quel est le polynome caractéristique associé à l'équation différentielle et quelles sont ces racines ?

l'équation caractéristique est
r^2+ar+b=0

supposons que a^2-4b=o on dit que l'équation caractéristique admet une racine double r  et on définit
f1(x)=e^rx et f2(x)=xe^rx

je ne vois pas pourquoi on calcule a^2-4b et non a^2-4ab qui est le déterminant du second degré.. puis ensuite pk dans f2(x) on multiplie f1(x)par x.

D'accord.

Donc ton équation caractéristique est un polynome de degré 2 : .
Les coefficients de ce polynome sont 1,a et b.
Donc son discriminent est .

Il ne faut pas confondre a,b,c qui viennent d'un polynome quelconque et a,b qu'on te donne ici et qui n'ont rien à voir !

a^2-4b est le discirimant? ce n'est pas le determinant plutot?

Le determinant d'un polynome ?

ce que je ne comprend pas c'est que le discriminant de ar^2+br+c=0 c'est bien a^2-4ac non?

Non.
Le discriminant d'un polynome est .

oups..
autant pour moi. et concernant f2(x) je ne comprend pas pourquoi il y a un x dans l'expression

Ca dépend ce que tu a vu en cours.
Vous avez traité les equ diff linéaires du second ordre à coéfficients constants ?

je suis sur un bouquin. oui je suis dans le cas de coefficients constants

Donc en fait tu veux une preuve du fait que si l'équation caractéristique de ton equa diff possede une racine double r alors les solutions sont de la forme
?

Je suis désolé mais je ne saisis pas vraiment si tu as vu le théoreme en question mais que tu ne comprends pas sa démonstration, si c'est un exemple que tu traites, si tu aimerais connaitre une manière de démontrer que les solutions sont comme je l'annonce.

Désolé petite confusion dans la variable.

ok merci je vais voir ca

Si tu veux voici une maniere de voir les choses :

On observe l'équation différentielle (E): y"+ay'+by=0 et son équation caractéristique : x^2+ax+b=0.

Remarque que si f est une fonction dérivable et si on pose z(t)=exp(-rt)f(t) ou r est une racine de l'équation caractéristique alors on a :

Si tu supposes maintenant qur r est racine double , il n'est pas difficile de voir que f est solution de (E) ssi z(t)=A+Bt. Ce qui te permet de conclure.