soit a, b et c trois entiers naturels non nuls. on pose =PGCD (a;b), a=a' et b=b' et (E) l'équation ax+by=c d'inconnues x et y dans Z

Existence et solutions

1)MOntrer que (E) admet au moins une solutionn (x₀, y₀) si et seulement si c ets un multiple de

2)Application
dire si chacune des équations suivantes admet ou non au moins une soution
    20x+15y=3             20x+15y=35            35x+14y=12

si c=PGCD(a b)

1)vérifier que E est équivalente à a'x+b'y=1 avec PGCD(a' b')=1
le théorèmede bezout permet d'affirmer qu'il existe au moins une solution (x₀;y₀).Il s'agit de les déterminer toutes.

2)montrer que E équivalente à a'(x-x₀)=b'(y₀-y)
achever le résolutin de E en utilisant gauss.

3)Application
   Résoudre dans Z*Z les éqautions 1 et 2 aprés avoir justifier que 2 est bien de la forme  de E
             1  20x+15y=5          2  35x+15y=7