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Equations fonctionelles de Cauchy

Posté par
nargissegr 04-01-13 à 14:47

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire sur les équations fonctionelles. Or, cela fait une semaine que je suis dessus et je n'y arrive pas car nous avons jamais traités ces équations. Voila le premier exercice:

Exercice 1:
On se propose de rechercher l'ensemble des fonctions f dérivables sur R vérifiant:
(E): pour tout (x,y) appartenant à R², f(x+y)=f(x)f(y) et f'(0)=1
(E) est une équation fonctionelles d'inconnue la fonction f dérivable sur R.
1. Donner une solution particulière f0 non nulle de (E).
2. Soit f une solution non nulle de (E)
  a) Montrer que f(0)=1
  b) Montrer que pour tout (x,y) appartennant à R², f'(x+y)=f'(x)f(y)
  c) En déduire que pour tout y appartennant à R: f'(y)=f(y)
3. Conclure en énoncant le théorème démontré

Donc voila l'énoncé. Pour la première question j'ai répondu que: on donne pour solution particulière de (E): exp(x+y)=exp(y)exp(x)
Maos pour la justification je n'y arrive pas. En suite pour la 2ème question je bloque totalement. Est-ce qu'il faut s'aider de démonstrations ou de simples exemples ? De même pour les 2 autres questions qui suivent.
La 3ème question j'ai mis comme théorème le suivant: Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=f et f(0)=1
Donc voila, merci de votre aide.

Posté par
Manny06re : Equations fonctionelles de Cauchy 04-01-13 à 14:54

pour la 2)a)
fi la fonction n'est pas nulle il existe a tel que f(a)différent de 0
calcule f(a)=f(a+0)      que peuxtu en conclure ?
pour 2)b) suppose y fixe et derive (E) par rapport à x (tu peux appliquer la derivée d'une fonction composée
ensuite dans la relation du b) remplace x par 0

Posté par
nargissegrEquations fonctionnelles de Cauchy 04-01-13 à 15:27

Pour le 2. a), on remplace x par a et y par 0? Et ça nous donne f(a+0)=f(a)xf(0)=f(a)x1= f(a) ?
et dans ce cas ça nou montre bien que f(x+y)=f(x)f(y) si f(0)=1
Ensuite pour le 2.b), lorsque je dérive je trouve f'(y)f'(x)

Posté par
Manny06re : Equations fonctionelles de Cauchy 04-01-13 à 15:45

attention la question est de montrer f(0)=1
f(a+0)=f(a)f(0)=f(a)
donc f(a)(f(0)-1)=0 or f(a)différent de 0 donc f(0)=1
f(x+y)=f(x)f(y)   (E)
si on dérive par rapport à x, y est une constante et f(y) aussi
la derivée de f(x+y) est f'(x+y)    (puisque la dérivée de x+y par rapport à x est 1)
la derivée de f(x)f(y) est f'(x)f(y)    puisque f(y) est une constante
on obtient donc
f'(x+y)=f'(x)f(y)
on remplace x par 0.....

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 04-01-13 à 15:47

Bonjour, bonne année 2013 :

Citation :
ça nous donne f(a+0)=f(a)xf(0)=f(a)x1= f(a)


Pas tout à fait : Il faut faire attention à la rédaction !

Tu poses f(a) \neq 0 puisque f ne s'annule pas.

Or, f(a) = f(a + 0) Jusque là ça va.

Mais \forall (x,y) \in \R^2 , f(x+y) = f(x)\times f(y)

D'où f(a + 0) = f(a)\times f(0)/tex] \\ \\ Si tu réunis ce que tu sais tu as bien : [tex]f(a) = f(a)\times f(0) d'où f(0) = ...

Citation :
Ensuite pour le 2.b), lorsque je dérive je trouve f'(y)f'(x)


Es-tu sûr de ton résultat ? Comme on te l'a précisé avant, tu ne dérives que par rapport à x :

\dfrac{d}{dx}f(x+y) = \dfrac{d}{dx} [f(x)\times f(y)] = \dfrac{d}{dx}f(x) \times f(y) + f(x)\times \dfrac{d}{dx} f(y)

Or, si y est constant, que dire de \dfrac{d}{dx} f(y) ?

Conclure.


Mathx96

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 04-01-13 à 15:50

Oups léger problème dans la rédaction :

Je reprends :

\forall(x,y)\in \R^2, f(x+y) = f(x)\times f(y)

D'où f(a + 0) = f(a)\times f(0)

Et si tu réunis tout ce que tu sais : f(a) = f(a)\times f(0) d'où f(0) = ...

Posté par
nargissegrEquations fonctionnelles de Cauchy 04-01-13 à 16:10

Bonjour!
Merci pour votre explication pour le 2.a) j'ai compris. Comme f(a)=f(a)xf(0), alors f(0) est obligatoirement égale à 1 donc f(a)=f(a)x1
Pour le 2.b) je pensais que ce genre de dérivée était destiné à la physique chimie, donc ça ne posera pas de problèmes ?
Donc comme y est constant \dfrac{d}{dx} f(y) est égale à 0.
Alors d/d(x)f(x)*f(y)+f(x)*d/dxf(y)= d/d(xf(x)*f(y)?

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 04-01-13 à 19:05

Non :

\dfrac{d}{dx} f(x) \times f(y) + f(x)\times \dfrac{d}{dx} f(y) = \dfrac{d}{dx} f(x) \times f(y) + f(x)\times 0 = \dfrac{d}{dx} f(x) \times f(y) = f'(x)\times f(y)


Pour la notation de la dérivée, en réalité ça devrait être ça normalement : \dfrac{\partial f}{\partial x}

car il s'agit d'une dérivée partielle : La dérivée d'une fonction à 2 variables par rapport à l'une de ces variables

(et en considérant l'autre constante). En fait, la notation \dfrac{d}{dx} est appelée notation de Leibniz et permet de dire par rapport à quoi on dérive, et c'est donc plus explicite que le simple f'(x) :

\dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x)

Si tu écris ça : f'(x + y) tu ne sais pas par rapport à quoi tu dérives, en revanche avec \dfrac{d}{dx} f(x+y) (ou pour être rigoureux :

\dfrac{\partial}{\partial x} f(x+y) ) ça explicite ce que tu fais : Tu considère y constant !


Pourquoi utilise-t-on cette notation en physique-chimie ? C'est parce qu'on a souvent plusieurs paramètre à faire évoluer, d'où la dérivée par rapport à une seule variable.

Sache une chose, les calculs ou les méthodes que tu appliques en physique, tu peux généralement les appliquer en maths ! La barrière entre ces deux matières est très fine !

Et puis, si tu as déjà abordé les intégrales et les primitives, tu remarques que tu retrouves bien le dx :

\int f(x)\text{  } dx

Posté par
nargissegrÉquations fonctionnelles de Cauchy 04-01-13 à 20:26

Merci beaucoup pour cette explication détaillée. En effet j'ai utilisé ce type d'écriture qu'en physique pour dériver en fonction du temps par exemple. Mais n'ayant toujours pas vu les primitives et les integrales  en maths je ne savais pas qu'on l'utilisait. Je pensais qu'en maths on dérivait toujours en fonctions de x. De plus, j'aimerais savoir si la question 2.b) nous permet de répondre à la question suivante ou dois-je démontrer grâce à une propriété des fonctions exp?  Car j'ai essayé avec la preuve qui montre que pour tout réel x et y,  on a exp(x+y)=exp(y)*exp(x) mais ça ne marche pas..

Posté par
nargissegrÉquation fonctionnelles de Cauchy 04-01-13 à 21:01

Ah non c'est bon j'ai trouvé!! Je remplace comme vous m'avez dit x par 0 ce qui me donne la dérivée de f'(y). Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 05-01-13 à 01:35

Surtout tu te sers de l'énoncé !

D'après la question 2)b tu as f'(x+y) = f(y)\times f'(x)

or, tu sais que :

Citation :
On se propose de rechercher l'ensemble des fonctions f dérivables sur R vérifiant:
(E): pour tout (x,y) appartenant à R², f(x+y)=f(x)f(y) et f'(0)=1


Donc f'(y) = f'(x+y) = f(y)\times f'(0) = f(y)\times 1 = f(y)


Mathx96

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 05-01-13 à 01:35

f'(y) = f'(0+y) pardon.

Posté par
nargissegrEquations fonctionnelles de Cauchy 05-01-13 à 19:25

D'accord je prends en compte tous les conseils que vous me donné!
J'ai une dernière question, pour la dérivée partielle que l'on a utilisé à la question 2. b) est-ce qu'il y a une propriété qui le démontre?

Posté par
mathx96re : Equations fonctionelles de Cauchy 06-01-13 à 00:14

Qui démontre quoi ?

On te demande de dériver par rapport à x, ce qui sous entend de laisser y constant. Tu devrais cependant éviter de parler de dérivée partielle car la notion n'est pas au programme de Terminale

Posté par
nargissegrÉquation fonctionnelle de Cauchy 06-01-13 à 20:13

D'accord c'était juste pour savoir si je devais justifier le calcul de la dérivée ou non


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