Il manque des hypothèses sur a et p . Ne serait-ce que pour assurer que u_n > 0 pour tout n .

je ne sais pas, c'est ainsi que j'ai trouvé l'énoncé mais s'il faut en ajouter, quelles sont ces hypothèses?
Merci.

Prend f = Arctan . Il existe h continue telle que h(0) = 0 et  f(x) - x³/3 + x³h(x) pour tout x .
..Tu as f(₊*) ₊* . Il existe donc des suites u à valeurs dans ₊* telles que u_n+1 = f(u_n) pour tout entier n .
Soit u l'une d'elles . Comme pour tout x > 0 on a f(x) < x , cette suite est décroissante . Tu dois être capable de montrer que u 0 .

Tu prends alors t > 0 et regardes v : n u_n^t .
Si n est un entier tu as donc v_n+1 =  u_n+1^t = u_n^t.(1 - u_n²/3 + u_n²h(u_n))^t = v_n (1 - tu_n²/3 + u_n²H_t(u_n)) où H_t(x) 0 quand x 0 .
Donc v_n+1 - v_n = -(t/3)u_n^2+t(1 + o(1)) .
Si tu prends t = -2 tu obtiens v_n+1 - v_n 2/3 .
Césaro te dit alors que (1/n).(_k=0^n-1(v_n+1 - v_n)) tend vers =  ....?
En simplifiant la somme en question tu en déduis que u_n^-2/n converge vers et tu trouves alors un équivalent de u_n.

Fais pareil pour sin .

le cas de la fonction arctan me donne une idée pour le cas général d'une fonction quelconque.
Merci beaucoup.