Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equivalence de propriétés
Bonjour,
j'ai quelques petit problème pour montrer ces équivalences , merci à tous ceux qui m'aideront, ^^
On considère E et D deux ensemble ainsi que f une application de E dans F
1)Montrer que les proprétés suivantes sont éqivalentes:
1)f est injective
2)Quelques soit (A,B) 
P(E)² f(A
B)=f(A)f(B)
3) quelques soit AP(E), f(A barre)
f(A) le tout barre
2) Montrer que f est injective ssi quelques soit AP(E), f-1(f(A))=A
Problème:
Comment commencer pour démontrer que si Quelques soit (A,B) P(E)² f(AB)=f(A)f(B) on a f injective?( j'ai déjà démontrer que si f injective, Quelques soit (A,B) P(E)² f(AB)=f(A)f(B))
Par l'absurde , On suppose f(x) = f(y) avec x 
y . On considère A = {x} et B= {y} d'où f(AB)=
= f(A)f(B) = {f(x)} d'où une contradiction .
apparemment tu aurais déjà démontré que 1
2
bon
23
assez évident en prenant B=A' (je met un "prime" pour parler du complémentaire)
on obtient f(A)
f(A')=f()=
donc f(A')(f(A))'
31
si f(x)=f(y) avec xy
prend A={x}
on a yA'
donc f(y)f(A')
donc y(f(A))'
donc f(y)
f(A)
donc f(x)f({x})
absurde
donc f injective
ben non puisqu'on a bouclé et que l'implication est transitive !
on a bien 32 puisque on a montré 31 et 12
mm
ah oui, c'est vrai, ^ ^ mici, ^ ^ par contre j'ai pas compris aussi pourquoi le fait que f(y)f(A') implique que y(f(A))' et pourquoi ne serait ce pas f(y)(f(A))'?
Dans la suite de l'exercice on a les applications suivantes:
f': P(E)->P(E) et
A-->f(A)
f*: P(F)->P(E)
C-->f-1(C)
4)Soit C P(F) . Calculer f'°f*(C)
5)Trouver une expression plus simple de f*°f'°f* et f'°f*°f'
6)Montrer que f injective ssi f' injective
7)Montrer que f surjective ssi f' surjective
8)Montrer que f injective ssi f* surjective
9)Montrer que f surjective ssi f* injective
J'ai trouvé f'°f*(C)=f[f-1(C)]
f*°f'°f*=f*(C)
f'°f*°f'=f'(A)
Comment commencé ensuite pour les questions 6,7,8,9?
relis la démo en la refaisant pas à pas sur le papier... tu dois comprendre seul... je ne peux rien ajouter de plus
f(y)
f(A') implique que y(f(A))' Je pense que tu ne connais pas suffisamment ton cours et tes définitions.
pour le 4 et le 5 je suis d'accord (à montrer bien sûr)
pour le 6, montre les deux implications
a) si f injective et pour A et B dans P(E), f(A)=f(B) alors A=B
là tu peux procéder par l'absurde en supposant par exemple qu'il existe un x dans A qui n'est pas dans B
b) si f' injective et que pour x et y dans E f(x)=f(y) alors x=y
Là tu prends les ensembles A={x} et B={y} et le tour est joué
Pour le 4 et le 5 il fallait bien juste le démontrer en le calculant directement c'est bien ça?(je l'ai juste calculer)
6-a) Soit f injective et pour A et B dans P(E), f(A)=f(B) alors A=B
par contre je ne comprend pas alors comment peut-on arrive à la conclusion que f' injective?
je ne comprends pas ce que tu entends par "calculer".
Montrer des égalités d'ensemble, c'est montrer une double inclusion.
pour le 6a), une fois de plus revois tes définitions !
que signifie "f' injective" ?
f injective signifie que si f(x)=f(x')--> x=x' avec (x,x')E²
f*°f'°f* est bien définit car f': P(E)-->p(F) et f* : P(F)-->P(E)
Soit CP(F)
f*°f'°f*=f*°[f(f-1(C)] par définition de la composition
=f-1f[f(f-1(C)]=f[sup]-1(C)=f*(C) et ceci pour C quelconque, cela n'était-il pas suffisant?
:?je ne comprends pas ce que tu entends par "calculer".
Montrer des égalités d'ensemble, c'est montrer une double inclusion.
pour le 6a), une fois de plus revois tes définitions !
que signifie "f' injective" ?
Vous avez écrit cela et je ne comprenais pas ce que ça venait faire là dedans...
f injective:
f injective signifie que si f(x)=f(x')--> x=x' avec (x,x')
E²f' injective, f(A)=f(B)=> A=B avec A et B P(E)²
(En faite je me suis trompé dans l'énonce f' va de P(E) dans P(F) et non dans P(E)
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac