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Equivalent

Posté par
leeloo4444 27-09-09 à 16:30

Bonjour à tous,

j'ai un exercice à faire sur les équivalents et je ne sais vraiment pas comment faire. L'exercice est le suivant :

- Soit l'équation (En) : x^5 +nx -1 = 0, n étant un entier naturel
a) Montrer que (En) admet une unique solution xn (x indicé n)
J'ai posé la fonction f(x) = x^5 +nx - 1 et j'ai montré grâce au théorème de la bijection que (En) n'admettait qu'une unique solution.

b) Trouver un équivalent de xn puis de xn -1/n

Là je bloque totalement. J'aimerais savoir s'il y a des méthodes pour les équivalents parce que je suis vraiment larguée ...
Si l'énoncé n'est pas clair dites le mais s'il vous plaît, répondez ...

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 17:22

Salut,
dis nous ce que tu as trouvé pour xn

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 17:29

j'ai pas de valeur, elle dépend de n ...

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 17:33

alors comme ça de but en blanc, je ne vois pas comment on peut trouver un équivalent...
désolé,je passe mon tour.

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 17:35

ok merci d'avoir essayé ...

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 17:44

Quelqu'un d'autre a une idée??

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 17:59

S'il vous plaît ...

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 18:40

S'il vous plaît juste une petite aide, je bloque totalement ...

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 18:53

bon je tombe sur

5$ [ln(t+\sqrt{t^2+4})]_{n}^{n+1/2}=ln(n+\frac{1}{2}+\sqrt{n^2+n+\frac{1}{4}+4})-ln(n+\sqrt{n+\sqrt{n^2+4})

aprés tu sors les "n" des racines...

j'obtiens aprés qqles calculs:

5$ ln(1+\frac{1}{2n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}+\frac{4}{n^2}})-ln(1+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}})

je n'ai pas encore fait tout les calculs,mais à partir de là...utiliser les DL semblent judicieux...
je vois pas encore d'autre solution.

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 18:53

oups!!!
trompé de topic!

Posté par
perroquetre : Equivalent 27-09-09 à 19:06

Bonjour, leeloo4444

Il est facile de montrer que    0 < x_n < 1/n.

L'égalité donnant x_n peut s'écrire sous la forme:

3$ x_n= \frac{1-x_n^5}{n}

Donc, x_n est équivalent à 1/n, puisque x_n^5 est de limite 0 (donc négligeable devant 1/n).

Donc:  3$ x_n=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)

Donc:  3$ x_n=\frac{1-x_n^5}{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)^5}{n}= \frac{1-\frac{1}{n^5}+o\left(\frac{1}{n^5}\right)}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^6}+o\left(\frac{1}{n^6}\right)

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 19:08

>perroquet, comment tu montres que 0<x_n<1/n ?

Posté par
perroquetre : Equivalent 27-09-09 à 19:17

On étudie la fonction    f(x)=x⁵+nx-1
f(0)=-1 <0
f(1/n)= 1/n⁵ >0

Donc, x_n appartient à ]0,1/n[ (théorème des valeurs intermédiaires)

Posté par
robby3re : Equivalent 27-09-09 à 19:22

ah ok!
merci!

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 20:15

perroquet tu pourrais m'expliquer pourquoi  x_n^5 tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini.

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 20:18

je ne comprends vraiment pas si quelqu'un d'autre peut m'expliquer vraiment ça serait sympa .

Posté par
perroquetre : Equivalent 27-09-09 à 20:37

Si x_n est inférieur à 1/n, alors x_n tend vers 0. On en déduit alors que x_n^5 tend vers 0

Posté par
leeloo4444re : Equivalent 27-09-09 à 22:08

merci perroquet


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