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Equivalent

Posté par
Usopp01 18-03-10 à 18:03

Bonjour, on la suite (an) definié par an=ln((n!exp(n))/n^n)).
Je dois montrer que an+1-an équivaut en +infini à -1/12n^2.
J'ai d'après l'exrepssion de an abouti à an+1-an=1-(n+1/2)(ln(n/n+1)).
Je cherche maintenant a arriver a l'équivalent demandé.
Queqlqu'un peut il m'aider?
Merci.

Posté par
Usopp01re : Equivalent 18-03-10 à 18:04

an=ln((n!exp(n))/(racine(n)*n^n))

Posté par
Pierre_Dre : Equivalent 18-03-10 à 18:51

Bonjour Usopp,

C'est en fait 1-\Big(n+\frac12\Big)\,\ln\Big(\frac{n+1}n\Big)=1-\Big(n+\frac12\Big)\,\ln\Big(1+\frac1n\Big) ,
et il n'y a plus qu'à utiliser le développement au troisième ordre de \ln(1+x) autour de 0

Posté par
Usopp01re : Equivalent 18-03-10 à 18:59

Euh oui j'ai inversé la fraction mince.
Mais sinon on ne connait pas encore les dl... et je dois le faire en +infini.

Posté par
Pierre_Dre : Equivalent 18-03-10 à 19:04

Quand n va vers l'infini, 1/n va vers 0 ...
Mais je ne vois pas comment faire sans développement en série.

Posté par
Usopp01re : Equivalent 18-03-10 à 19:20

ln(1+x) équivaut à x en 0 non?
JE coirs qu'il existe un équivalent de type.

Posté par
Usopp01re : Equivalent 18-03-10 à 21:10

UP.

Posté par
Pierre_Dre : Equivalent 18-03-10 à 21:42

Mais je n'ai rien de plus à te dire qu'à 19H04, Usopp ...
Le facteur \Big(n+\frac12\Big) interdit d'utiliser le développement au premier ordre : on doit développer jusqu'à être sûr que le terme suivant ne va pas contribuer à annuler le résultat déjà obtenu.
Utilise \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+... , et tu comprendras.

Posté par
Usopp01re : Equivalent 18-03-10 à 21:45

Le probleme est que je pense que l'on doit procéder d'une autre manière, mais si je ne trouve pas je chercherai de ce coté.


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