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équivalent à l'infini et limite

Posté par
robby3 15-11-09 à 17:26

Bonjour tout le monde,

je cherche un équivalent de 5$ \sqrt{1+\(\sqrt{1+x^2}\)}-\sqrt{\(1+x\)} à l'infini.
pour cela, je fait un changement de variable 5$ X=\frac{1}{x} pour utiliser les DL:

on a donc:

5$ \sqrt{1+\(\sqrt{1+\frac{1}{X^2}}\)}-\sqrt{(1+\frac{1}{X})} \\
on a 5$ \sqrt{1+\frac{1}{X^2}}=1+\frac{1}{2X^2}+o(\frac{1}{X^3}) donc:

5$ \sqrt{1+\(\sqrt{1+\frac{1}{X^2}}\)}-\sqrt{(1+\frac{1}{X})}=\sqrt{2}\(1+\frac{1}{4X^2}+o(\frac{1}{X^3})\)^{1/2}-(1+\frac{1}{X})^{1/2}=\sqrt{2}\(1+\frac{1}{8X^2}+o(\frac{1}{X^3})\)-1-\frac{1}{2X}+o(\frac{1}{X^2})
donc je dirais finalement que
5$ \sqrt{1+\(\sqrt{1+x^2}\)}-\sqrt{\(1+x\)}\sim \frac{\sqrt{2}x^2}{8} lorsque 5$ x tend vers l'infini.

est-ce correct?


par ailleurs avez-vous une idée pour calculer la limite en 1 de 5$ ln(x).ln(1-x) ?
merci d'avance de vôtre aide!

Posté par
H_aldnoerre : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 17:36

Pour la deuxième question :
on écrit \Large\ln(x) = \ln(1-u) avec \Large u = 1-x. Comme x tend vers 1, u tend vers 0. Par un développement limité en 0 on obtient \Large \ln(1-u)= -u + o(u).

Donc \Large\ln(x) = -(1-x) + o(1-x) et donc \Large \ln(x)\ln(1-x) = -(1-x)\ln(1-x) + o(1-x)\ln(1-x) = (1-x)\ln(1-x)\left(-1 + \frac{o(1-x)}{(1-x)}\right).

Posté par
robby3re : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 17:39

salut,
j'avais fais ça mais quand tu fais un changement de variable, tu le fais pour les 2...et le problème reste le même non?

Posté par
H_aldnoerre : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 17:44

On a fait le changement de variable juste pour obtenir \Large\ln(x) = -(1-x) + o(1-x) ! Après rien nous empêches de travailler avec cette égalité je pense.

Posté par
verdurinre : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 17:44

Bonjour
ton premier résultat ne peut pas être juste : il signifie que la somme de 2 expressions  équivalentes à A \sqrt x est équivalente à B x^2 ce qui est étonnant.

Un début de réponse possible :
en multipliant  par la  quantité conjuguée on a
3$ \sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}-\sqrt{1+x}=\frac{1+\sqrt{1+x^2}-1-x}{\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt{1+x}}
puis en recommençant on peut voir que la limite est zéro en + et même obtenir un équivalent.

Posté par
robby3re : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 17:54

Bonsoir Verdurin.
Par ta méthode,effectivement,on voit que la limite est 0

par contre j'obtiens:

5$ \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+x)}
à partir de là, pour l'équivalent,tu fais un changement de variable?

Posté par
verdurinre : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 18:14

J'obtiens  le même résultat.
Ensuite j'utilise j'utilise \sqrt{1+u}\sim \sqrt{u} en +\infty à répétition pour avoir
3$ \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt{1+x})(\sqrt{1+x^2}+x)}\sim \frac1{4 x \sqrt{x}}

Posté par
robby3re : équivalent à l'infini et limite 15-11-09 à 18:18

ah d'accord.
OK.Merci Verdurin.


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