Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espace complet
Je voudrais démontrer cette propriété:
Soit (X_1, d_1);... ; (X_N, d_N) une famille de N espaces métriques complets.
Si l'on pose X = X_1 x ... x X_N et d((x1;...; xN); (y1;... ; yN)) = max
1<=j<=N dj(xj ; yj);
alors l'espace (X, d) est un espace complet.
Comment on s'y prend? On prend une suite (x_n) qui est de cauchy donc
>0 
n0 tel que m,n >= n0 d(x_n,x_m) <... et puis...
BONJOUR à toi aussi ...
Tu procèdes par récurrence sur le nombre d'espaces:
si d(x_n,x_m)<epsilon alors d_i(x_n,x_m)< epsilon et tu utilises le fait que Xi soit complet.
Excusez-moi( d'habitude je dis toujours "salut" mais là j'ai oublié).
Ce qui me gêne c'est que l'on applique sur d_i sur les i-ème composantes de x_m et de x_n. C'est bon si je dis que pour tout il existe n0 = max {n_j} tel que :
d_1(x_n,1,x_m,1) <
d_2(x_n,2,x_m,2) <
.
.
d_N(x_n,N,x_m,N) <
Comme les suites (x_n,j)j converge vers une certaine limite Lj car X_j est complet alors x_n converge vers (L1, ..., LN) ?
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac