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Espace Euclidien
Bonsoir, voici mon problème, pouvez-vous me donner des pistes ou une méthode pour résoudre ce problème, je suis au bout du rouleau..
L'espace affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k)
On considère, la transformation affine qui à M(x,y,z) associe M'(x',y',z')
1) Montrer que f est un vissage que l'on caractérisera.
2)Décomposer f en un produit de réflexions. On pourra commencer par justifier que la première d'entres-elles peut-être choisie comme la reflexion s1 par rapport au plan P1 d'équation 2y-z-1=0
Merci.
Bonjour,
Ca fait bien longtemps que je n'ai plus fait de vissage, alors j'espère que je ne vais pas raconter n'importe quoi :
Il me semble qu'il faut considérer l'application linéaire associée, donc en retirant les 3 constantes -1, 9 et 4
Tu formes la matrice de cette application (ne pas oublier de diviser par 7)
Et tu cherches ses valeurs propres (je l'ai fait, on trouve 1 et -1)
Comme la matrice est symétrique alors elle est diagonalisable, il y a donc un sous espace propre de dimension 1 et un autre de dimension 2
Tu cherches une base du sous-espace propre de dimension 1 (on trouve (3,1,2) )
Ce vecteur donne la direction de l'axe de rotation
Pour trouver l'axe, il faut trouver l'ensemble des (x,y,z) tels que (x',y',z')-(x,y,z) soit colinéaire à (3,1,2)
Bon essaye déjà de voir avec ça, mais peut-être que quelqu'un aura une méthode + simple ?
Merci de votre réponse, votre méthode a su me guider au bon résultat!
J'ai réussi à trouver l'angle ainsi que l'axe de vissage.
Et pour ce qui est de la deuxième question, auriez-vous une idée?
Content d'avoir pu t'aider, je me suis fait simplement cette réflexion : si on prouve d'abord que la transformation est une isométrie, alors les valeurs propres de l'application linéaire sont forcément 1 et -1, ce qui évite le calcul fastidieux de ces valeurs propres. Et il me semble même (à vérifier) que la parité de la dimension du sous espace associé à -1 indique s'il s'agit d'un déplacement ou d'un antidéplacement
Pour la question 2, ça me parait plus simple :
La translation se décompose en 2 réflexions de plans perpendiculaires à la direction du vecteur de translation v, le 2ème plan étant l'image du premier par translation de vecteur v/2
La rotation se décompose en 2 reflexions de plans contenant l'axe de rotation, l'un des 2 est quelconque, pour le deuxième tu prends un point du premier plan, tu calcules son image, et tu fais le plan médiateur de ces 2 points
Au fait, si tu as plus tard une correction de cet exercice, ça m'intéresse de savoir s'il existe une méthode plus simple à la question 1
Je vous enverrai la correction dès lundi, pour la question 2 je ne vois pas comment faire le plan médiateur des 2points...
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