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Espace vectoriel et équa diff

Posté par
alex742 05-02-09 à 18:56

Salut, j'ai un petit soucis sur un l'exo que voici :
On a l'application de E vers F (]0;+[,) qui à la fonction f de E associe (f) = x²f ''(x)-xf '(x)+f(x) avec E l'espace vectoriel des fonctions dérivables deux fois sur ]0,+[.
est linéaire, montrer que son noyau est formé des applications définies sur ]0,+[ et solutions d'une équation différentielle que l'on précisera.

Bon, en fait pour cette quéstion ci j'ai un doute, je trouve que les applications doivent être solution de x²f ''(x)-xf '(x)+f(x) = 0
Mais ca me semble presque trop évident ?


Je bloque ensuite sur la quéstion ou il est demandé de montrer que les solutions de l'équation différentielle trouvée juste avant sont de classe infinie.
Je vois pas par ou passer ?

Si quelqu'un peut me donner un coup de main...merci d'avance !

Posté par
veledare : Espace vectoriel et équa diff 05-02-09 à 19:43

bonsoir,
si f est solution
sur ]0,+oo[ f"(x)=\frac{f'(x)}{x}-\frac{f(x)}{x^2}
f'' est donc dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables
donc f(3)existe et c'est la somme de foncions dérivables sur ]0,+oo[...

Posté par
alex742re : Espace vectoriel et équa diff 05-02-09 à 21:24

Merci
Une derniere quéstion
On me demande de trouver les solutions polynômiales du premier degré solution de x²f ''(x)-xf '(x)+f(x) = 0.
Vu qu'on doit trouver f du premier degré, je trouve -xf '(x) +f(x) = 0
Mais j'arrive pas plus loin et pourtant j'en suis pas loin j'ai l'impréssion.
Merci !

Posté par
veledare : Espace vectoriel et équa diff 05-02-09 à 22:07

si f est de degré 1 tu peux prendre f(x)=ax+b donc f'(x)=a et tu reporte dans l'équation
ou bien tu utilises\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Espace vectoriel et équa diff 05-02-09 à 22:22

Bonsoir ;

Ici on peut déterminer le noyau de \varphi en écrivant :

5$\fbox{f\in ker\varphi\;\Longleftrightarrow\;(\forall x>0)\;,\;f^{''}(x)=\frac{xf^'(x)-f(x)}{x^2}=\left(\frac{f(x)}{x}\right)^'\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Longleftrightarrow\;(\exists a\in\mathbb{R})\;(\forall x>0)\;,\;f^{'}(x)=\frac{f(x)}{x}+a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Longleftrightarrow\;(\exists a\in\mathbb{R})\;(\forall x>0)\;,\;\frac{xf^'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{a}{x}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Longleftrightarrow\;(\exists a\in\mathbb{R})\;(\forall x>0)\;,\;\left(\frac{f(x)}{x}\right)^'=a(\ell n(x))^'\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Longleftrightarrow\;(\exists a\in\mathbb{R})\;(\exists b\in\mathbb{R})\;(\forall x>0)\;,\;\frac{f(x)}{x}=a\ell n(x)+b\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Longleftrightarrow\;(\exists a\in\mathbb{R})\;(\exists b\in\mathbb{R})\;(\forall x>0)\;,\;f(x)=ax\ell n(x)+bx}

3$ker\varphi est donc le plan vectoriel de E dont une base est 3$\left(x\to x\ell n(x)\;,\;x\to x\right) sauf erreur bien entendu


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