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espaces complets

Posté par
zamot 05-11-09 à 22:01

Salut

Je cherche montrer que c_0=\{x=(x_n)_n,\lim_{n\to \infty} x_n=0\} est complet pour la norme ||x||\{\infty}=\sum_{n\ge 1} |x_n|

Pour cela, je prends donc une suite (x_n) de Cauchy dans c_0 et je dois montrer qu'elle converge.

J'ai fait un truc mais ça me semble faux, car je n'utilise pas la norme ...

(x_n) de Cauchy est dans c_0 donc \lim_{n\to \infty}x_n=0, donc elle converge.

Voilà pourquoi ceci est faux ?

Merci !

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 22:02

oula, c'est ||x||_{\infty}=\sup_{n\ge 1}|x_n|

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 22:19

Bonsoir,

quand tu prends une suite (x_n) de cauchy dans c_0,

ici pour chaque n, on a une suite réelle x_n=(x_{n,k})_k qui tend vers 0 quand k\rightarrow \infty.

On sait que pour tout n, \lim_{k\rightarrow \infty} x_{n,k}=0

a priori on ne sait rien sur \lim_{n\rightarrow \infty} x_n.

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 22:26

Salut romu

Ici, x_{n_k} est bien une sous-suite de x_n ?

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 22:31

non il n'est pas question de sous-suite ici.

Il faut faire attention, tu as pris une suite de Cauchy de suite (de réels).

(x_n) est une suite de suite.
x_{n,i} est le i-ième terme de la suite de réels x_n=(x_{n,k})_k

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 23:14

Ah, c'est parce qu'on prend une suite d'éléments de c_0, tout simplement, c'est bien ça ...

Donc au final, on a une suite de suite.

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 23:21

oui c'est bien ça.

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 23:27

ok !
Merci pour ton aide romu

Est-ce qu'on peut finir l'exo ensemble ?

Donc on a pris une suite x_n=(x_{n,k})_k de Cauchy dans c_0, et on veut montrer qu'elle converge dans c_0

Comme (x_{n,k})_k est de Cauchy, on a :

\forall \epsilon >0, \exist N \ge 1, p,q \ge N \Longrigtarrow ||x_{{n,k}_p}-x_{{n,k}_q}||_{\infty} \le \epsilon
C'est toujours correct jusque là ?
Parce qu'il y a pas mal d'indices !

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 23:30

\forall \epsilon >0, \exist N \ge 1, p,q \ge N \Longrightarrow ||x_{{n,k}_p}-x_{{n,k}_q}||_{\infty}

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 23:35

écris plutôt ||x_{n,p}-x_{n,q}||_{\infty}\leq \eps.

De cette propriété, il faut chercher une suite \in c_0 qui serait candidate pour être la limite de cette suite de Cauchy (relativement à la norme ||.||_{\infty}).
Une fois que tu l'as trouvé il faut montrer qu'elle soit bien limite de cette suite de Cauchy (relativement à la norme ||.||_{\infty}).

Posté par
zamotre : espaces complets 05-11-09 à 23:43

Oui c'est mieux écrit comme ça !

On a bien ||x_{n,p}-x_{n,q}||_{\infty}=\sup_{n\ge 1} |x_{n,p}-x_{n,q}| \le \epsilon
Ca c'est toujours vraie ?

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 23:50

ah non désolé, je me suis trompé

c'est plutôt ||x_p-x-q||_{\infty} = \sup_n |x_{p,k}-x_{q,k}|\leq \epsilon

Posté par
romure : espaces complets 05-11-09 à 23:51

||x_p-x_q||_{\infty}=...

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:06

Ouf, car je ne comrpenais plus rien ^^

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:08

Donc c'est vrai pour tout k, donc en particulier, |x_{p,k}-x_{q,k}| \le \epsilon

On a donc que x_{n,k} est de Cauchy dans \mathbb{R}, donc converge

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:09

Plutôt (x_{n,k}) de Cauchy dans \mathbb{R}, donc converge vers un réel \alpha_k

Posté par
romure : espaces complets 06-11-09 à 00:12

pour k fixé oui, tu notes x_k=\lim_{n\rightarrow \infty} x_{n,k}. Tu définis ainsi une suite de réels x=(x_k).

Maintenant il faut montrer que ce candidat x appartient à c_0,
puis que x_n tend vers x quand n\rightarrow \infty relativement à la norme ||.||_{\infty}.

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:18

Oui voilà

Donc il faut d'abord montrer que \lim_{k\to \infty} x_k=0

Donc en fait on va avoir une double limite, c'est  bien ça ?

Posté par
romure : espaces complets 06-11-09 à 00:32

que veux-tu dire par double limite?

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:32

Donc on va devoir montrer que \lim_{k\to \infty} \lim_{n\to \infty} x_{n,k}=0

Pour que ça soit vraie, il faudrait intervertir les limites, donc avoir une convergence uniforme ... mais je ne vois pas trop d'où elle viendrait.

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:35

Ah non j'ai rien dit...

On veut bien montrer que x est dans c_0

Donc que \lim_{k\to \infty} x_k =0, c'est bien ça ?

Posté par
romure : espaces complets 06-11-09 à 00:37

c'est justement ce qu'on te demande, la norme ||.||_{\inf} est la norme de la convergence uniforme, et on veut montrer que la suite de fonction f_n:\ k\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n,k}\in \mathbb{R} converge uniformément vers f:\ k\in \mathbb{N} \rightarrow x_k\mathbb{R}.
Notre candidat f est la limite simple (ou ponctuelle) de f_n.

Posté par
romure : espaces complets 06-11-09 à 00:38

oui c'est bien ça.

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:45

Mais je ne vois pas comment conclure avec ce que tu dis à 00h37 ...

Posté par
zamotre : espaces complets 06-11-09 à 00:53

Je n'arrive pas à montrer que \lim_{k\to \infty} x_k=0

Posté par
romure : espaces complets 06-11-09 à 01:14

Tu fixes \varepsilon>0. Tu as pour tous k,n

x_k=(x_k-x_{n,k})+x_{n,k},

l'inégalité triangulaire nous donne: |x_k|\leq|x_k-x_{n,k}|+|x_{n,k}|.

comme |x_{n,k}-x_k|\rightarrow 0 quand n\rightarrow \infty, |x_{n,k}-x_k|\leq \frac{\varepsilon}{2} à partir d'un certain rang N.

Et comme x_N\in c_0, |x_{N,k}|\leq \frac{\varepsilon}{2} à partir d'un certain rang K.

Donc |x_k|\leq |x_k-x_{N,k}|+|x_{N,k}|\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\varepsilon, pour tout k\geq K.


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