Bonjour,



Pour la première équivalence: en prenant le logarithme
Pour la deuxième équivalence: en divisant par ab

Bonjour

Remarque que

Salut perroquet

merci Perroquet ! J'ai bien compris ton raisonnement. Mais il faut aussi que je montre que a^bb^a. Je pense que Camélia a apporté un partie d'une solution. J'ai développé lnb/b - lna/a et je trouve en effet, ln(b^a/a^b)/ab. Or, ce résultat est strictement supérieur à 0 donc lnb/b>lna/a. Merci pour vos aides !

Maintenant, je dois étudier des variations de cette fonction: f(x)=lnx/x sur +*.
Je trouve f'(x)= (1-lnx)/x². Ensuite, je trouve que cette dérivée est positive sur ]0;e] et négative sur [e;+[ donc la fontion f est croisssante puis décroissante. Je vous fais un tableau pour que ce soit plus clair. Je pense ne pas rencontrer de difficultés pour trouver les limites tout seul.

Ensuite, il faut que je trouve p et q des entiers naturels distincts et non nuls tel que: p^q=q^p. Je sais qu'il faut que je me serve des résultats d'en haut, alors j'ai commencé par faire ça:
p^q=q^p lnp/p=lnq/q. Quant à trouver p et q, je ne sait pas comment procéder...

Le tableau de variations montre que si f(x)=f(y), avec x<y, alors  x est compris entre 0 et e, et y est supérieur à e.

Donc, x vaut 1 ou 2.

L'équation  1^y = y^1 , avec y différent de 1 n'admet pas de solution.

L'équation  2^y = y^2, avec y différent de 2, admet pour solution évidente y=4. Il n'y en a pas d'autre, toujours avec le tableau de variation.

ah d'accord, j'ai compris ! tu as utilisé ce tableau de variation parce que la fonction f représente lna/a et lnb/b eux mêmes étant rangés dans le même ordre que a^b et b^a !

Enfin, il faut comparer avec n*: (n+1)ⁿ et n ⁿ⁺¹

Ma réponse est: soit n=a et soit n+1=b donc comme on l'a vu auparavant, a^b<b^a donc a^b<b^a donc (n+1)ⁿ et n ⁿ⁺¹

est-ce correct s'il vous plaît ?

Non, ce n'est pas correct. Cela dépend de la position de (n) et (n+1) par rapport à e.

ahh ! j'espère avoir compris:

soit a=n et b=(n+1). a < b. On a vu que a^b et b^a varient comme lna/a et lnb/b. Donc on se sert du tableau de variations de f:

lorque n]0;e], nⁿ⁺¹ < (n+1)ⁿ

lorque n[e;+[, nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ

est-ce correct ?

Non, ce n'est toujours pas correct, même si on s'approche.

Il faut considérer les cas:
(n) et (n+1)  dans ]0,e]
(n) et (n+1)  dans ]e,+[
(n)  dans ]0,e]  et (n+1) dans ]e,+[

je pense que pour le premier cas,  n⁽ⁿ⁺¹⁾ < (n+1)ⁿ
Le 2ème cas est plus compliqué parce qu'à un moment, l'inégalité change ?