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( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es

Posté par rook (invité) 02-05-05 à 22:04

Étude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = 2x +100e^{-0,2x} .
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O,i,j) (unités graphiques : 1 cm pour 1 unité en abscisse ; 1 cm pour 10 unités en ordonnée).
1. Calculer la limite de f en +∞.

2. Montrer que la droite D d'équation y = 2x est asymptote à la courbe Cf .

3. Calculer la dérivée f ′ et étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; +∞[.

4. Tracer Cf et D dans le repère (O,i,j) pour x appartenant à [1 ; 18].

5. Résoudre graphiquement l'inéquation f (x) \le 50 sur l'intervalle [1 ; 18].

6. Calculer la valeur exacte du nombre M=\frac{1}{17}\int_1^{18} f(x)dx , puis donner sa valeur arrondie à l'entier le plus proche.

Partie B
Modélisation d'un coût
Un artisan confiseur qui propose des chocolats « faits maison » en fabrique de 1 à 18 kg par jour. Le coût moyen de fabrication d'un kilogramme de chocolats est exprimé en euros. Il est modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A, où x désigne lamasse en kg de chocolats fabriqués (1\lex\le18).
Dans la suite, on utilisera les résultats de la partie A.

1. a. Déterminer, à un euro près, le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués.

b. Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimum?

c. Quel est alors ce coût?

2. L'artisan vend ses chocolats au prix de 50 Euros le kilogramme.
Quelle quantité minimale doit-il fabriquer pour faire un bénéfice?

3. Quelle est pour l'artisan la valeur moyenne du coût de fabrication d'un kilogramme de chocolats?

Posté par
Nightmarere : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 02-05-05 à 22:14

Bonjour ? s'il vous plait ? merci ?


jord

Posté par rook (invité)re : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 02-05-05 à 22:21

Bonjour et désolé je voulais éditer mon post mais j'ai pas trouvé comment faire bon j'ai un pti peu des problèmes partout mais je voulais savoir est ce que F(x)=x2+500e^{-0.2x}

Posté par rook (invité)re : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 02-05-05 à 22:22

F(x)=x2-500e^{-0.2x}

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d?une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 03:57

slt


bien alors comme te l'a fait remarquer Nightmare ... j'en rajouterais pas plus mais a l'avenir...


3$\textrm \blue \fbox{ETUDE DE FONCTION

Partie A

3$\textrm f(x)=2x+100\times e^{-0.2x}, D_f=\mathbb{R}


3$\textrm \blue 1)
3$\.\array{\lim_{x\to+\infty}-0.2x\\\lim_{X\to-\infty}e^X=0}\}\textrm par compose \fbox{\lim_{x\to+\infty}(e^{-0.2x})=0}(1)

3$\textrm\fbox{\lim_{x\to+\infty}(100)=100} (2)

3$\textrm soit par produit de (1) et (2) : \fbox{\lim_{x\to+\infty}(100\times e^{-0.2x})=0} (3)

3$\textrm\fbox{\lim_{x\to+\infty}(2x)=+\infty} (4)

3$\textrm soit par addition de (3) et (4) :3$\fbox{\red\lim_{x\to+\infty}(f(x))=+\infty}


3$\textrm \blue 2)

3$\textrm Nous avons :
3$\begin{tabular}|f(x)-y_D|&=&|2x+100\times e^{-0.2x}-2x|\\&=&|100\times e^{-0.2x}|\\&=&\textrm100\times e^{-0.2x} car exponentielle strictement positive\end{tabular}

3$\textrm On a demontre en3$\textrm \blue 1)3$\textrm que \lim_{x\to+\infty}(100\times e^{-0.2x})=0

3$\textrm Par consequent nous avons \lim_{x\to+\infty}(|f(x)-y_D|)=0 donc la d'equation y_D est asymptote oblique a C_f


3$\textrm \blue 3)
3$\textrm f(x)=2x+100\times e^{-0.2x}, D_f=\mathbb{R}

3$\textrm f est la somme de 2 fonctions derivables sur \mathbb{R} (fonction lineaire et fonction exponentielle) donc elle meme derivable sur \mathbb{R}
3$\textrm soit\forall x\in\mathbb{R}, on a :

3$\begin{tabular}f^'(x)&=&2+100\times(-0.2)\times e^{-0.2x}\\&=&2-20\times e^{-0.2x}\end{tabular}

3$\textrm f^' est du signe de -20\times e^{-0.2x} car 2>0

3$\textrm Nous savons que la fonction exponentielle est strictement positive soit :

3$\begin{tabular}e^{-0.2x}>0\\\leftrightarrow-20\times e^{-0.2x}<0\\\leftrightarrow f^'<0\end{tabular}

3$\textrm la derivee est strictement negative et donc la courbe representative de f decroit strictement soit le tableau suivant :

5$\begin{tabular}{|c|cccccccc||}x&0&&&&&&+\infty\\\hline{f^'}&&&&-&&&\\{f}&&&&\searrow&&&&\\\end{tabular}

3$\textrm l'ensemble de definition de la fonction etant D_f=\mathbb{R} la fonction est definie pour x=0 et on :

3$\begin{tabular}f(0)&=&2\times0+100\times e^{-0.2\times0}\\&=&100\times e^{0}\\&=&100\times1\\&=&100\end{tabuar}

3$\textrm et d'autre part, comme nous l'avons demontre en3$\textrm \blue 1)3$\lim_{x\to+\infty}(f(x))=+\infty

ces deux "valeurs" sont a mettre dans le tableau precedent


3$\textrm \blue 4)
3$\textrm voir ci dessous
* image externe expirée *


3$\textrm \blue 5)
3$\textrm voir ci dessous
* image externe expirée *

3$\textrm soit graphiquement, et approximativement \forall x tel que 0.44\le x\le18, f(x)<50


3$\textrm \blue 6)
3$\textrm Nous savons que :

3$\fbox{\int_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

3$\textrm determinons d'abord F(x):
3$f(x)=2x+100\times e^{-0.2x}

3$\textrm posons u(x)=x^2 soit u^'(x)=2x

3$\textrm de meme

3$\textrm posons v(x)=-500e^{-0.2x} soit v^'(x)=-500\times-0.2\times e^{-0.2x}=100\times e^{-0.2x}

3$\textrm d'ou F(x)=u(x)+v(x)=x^2-500e^{-0.2x}

3$\textrm et donc \int_a^b f(x) dx=[x^2-500e^{-0.2x}]_a^b


3$\textrm soit \int_1^{18} f(x) dx=[x^2-500e^{-0.2x}]_1^{18}=(18^2-500e^{-0.2\times18})-(1^2-500e^{-0.2\times1})

3$\textrm et
3$\begin{tabular}(18^2-500e^{-0.2\times18})-(1^2-500e^{-0.2\times1})&=&324-500\times e^{-3.6}-1+500\times e^{-0.2}\\&=&323+500(e^{-0.2}-e^{-3.6})\end{tabular}

3$\textrm et donc M=\frac{1}{17}.\int_1^{18} f(x) dx=\frac{1}{17}(323+500(e^{-0.2}-e^{-3.6}))\approx42.2767


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 06:46

rebonjour !


et voila ce qui arrive lorsque l'on fait des exercices a cette heure-ci ... ENORME erreur de ma part ... en ce qui concerne le calcul de dérivé ... reprenons


3$\textrm \blue 3)

3$\textrm f^'(x)=2-20\times e^{-0.2x}

3$\begin{tabular}2-20\times e^{-0.2x}>0\\\leftrightarrow2>20\times e^{-0.2x}\\\leftrightarrow20\times e^{-0.2x}<2\\\leftrightarrow e^{-0.2x}<\frac{2}{20}\\\leftrightarrow e^{-0.2x}<\frac{1}{10}\\\leftrightarrow e^{-0.2x}<10^{-1}\\\leftrightarrow \ln(e^{-0.2x})<\ln(10^{-1})\\\leftrightarrow -0.2x<-\ln(10)\\\leftrightarrow x>\frac{\ln(10)}{0.2}\\\leftrightarrow x>5\times\ln(10)}\end{tabular}

3$\textrm soit le tableau de variation suivant :

3$\begin{tabular}{|c|cccccc||}x&0&&5\times\ln(10)&&+\infty\\{f^'}&&-&0&+&\\{f}&&\searrow&&\nearrow&&\\\end{tabular}

3$\textrm les calculs de f(0) et limte sont bons ; reste cependant a calculer une valeur :

3$\begin{tabular}f(5\times\ln(10))&=&2\times(5\times\ln(10))+100\times e^{-0.2\times(5\times\ln(10))}\\&=&10\times\ln(10)+100\times e^{-\ln(10)}\\&=&10\times\ln(10)+100\times e^{\ln(10^{-1})}\\&=&10\times\ln(10)+100\times10^{-1}\\&=&10\times\ln(10)+10\\&=&10(\ln(10)+1)\end{tabular}

valeur aussi a mettre dans le tableau

voila je pense que cette fois ci c'est bon


@+ sur l'_ald_

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 07:15

et on est repartit :

PARTIE B

3$\textrm d'apres l'enonce :

"Le coût moyen de fabrication d'un kilogramme de chocolats est exprimé en euros. Il est modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A, où x désigne la masse en kg de chocolats fabriqués"


3$\textrm \blue 1)

3$\textrm le cout moyen de fabrication pour 6 kg fabriques est donc donnee par f(6) soit :

3$\begin{tabular}f(6)&=&2\times6+100\times e^{-0.2\times6}\\&=&12+100\times e^{-1.2}\\&\approx&\textrm 42.1194 soit a 1\in pres, \fbox{42\in \end{tabular}

dsl pour le signe € ...


3$\textrm \blue 2)
3$\textrm de l'etude faite dans la Partie A nous savons que la derive s'annule pour x=5\time\ln(10)
3$\textrm de plus \forall x\in[0;5\time\ln(10)], f'<0 et \forall x\in[5\time\ln(10);18], f'>0
3$\textrm \red f^' s'annule en changeant de signe en x_0=5\time\ln(10) et donc f admet donc en ce point un extremun qui est ici un minimun

3$\textrm \fbox{il faut donc fabriquer 5\time\ln(10)kg pour que le cout soit minimun


3$\textrm \blue 3)
3$\textrm le cout est alors donne par f(5\times\ln(10)) d'apres la definition de la fonction f
3$\textrm nous avons deja calculer dans la Partie A cette valeur : f(5\times\ln(10))=10(ln(10)+1) > \fbox{le cout est exactement de 10(ln(10)+1)\in


3$\textrm \blue 4)
3$\textrm nous avons vu dans la Partie A que \forall x tel que 0.44\le x\le18, f(x)<50

3$\textrm nous determinons aussi graphiquement que \forall x tel que 0\le x\le0.44, f(x)>50

3$\textrm \fbox{il faut donc que l'artisan fabrique une quantite minimale approximativement egale a 0.44 pour faire un benefice


3$\textrm \blue 5)

3$\textrm le cout moyen de fabrication pour 1 kg fabriques est donc donnee par f(1) soit :

3$\begin{tabular}f(1)&=&2\times1+100\times e^{-0.2\times1}\\&=&2+100\times e^{-0.2}\\&\approx&\textrm 82.8731 soit a 1\in pres, \fbox{83\in \end{tabular}


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d?une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 08:34

ah et j'allais oublié :

* image externe expirée *

le plus important sans doute

..._ald_

Posté par rook (invité)re : ( Étude d’une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 12:42

merci beaucoup H_aldnoer d'avoir usé de ton temps pour moi,
je te remercie car tes explications sont très clair
PS: tu dors jamais ?
encore merci

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d?une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 12:51

slt rook !


a vrai dire j'aime bien terminer ce que j'ai commencé et n'étant pas couché 3h du matin (pas bien) j'ai entamé ton exos et voulé absolument finir la première partie ...
c'est donc content que vers 4h du matin je suis allez me coucher et puis ... quelque chose me tracaser ... effectivement j'avais bien fait une erreur et je me suis donc levé a 7h pour corriger tout ceci ...
j'en ai aussi profiter pour finir la dernière partit (soit en tout 3h de sommeil)

>> Tout ceci avec plaisir rook ... du moment que l'on respecte les regles du forum ... ok ?

* image externe expirée *

PS reverifie bien l'exercie car il se peut que ... mais enfin bon
@+ sur l'_ald_

Posté par
H_aldnoerre : ( Étude d?une fonction , intégrale ) centres étranger es 03-05-05 à 13:06

re

* image externe expirée *

merci philoux pour ce log


@+ sur l' _ald_


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