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Etude d'une marche aléatoire
Bonjour,
J'ai un exercice sur un algorithme qui permet de simuler une expérience aléatoire. L'énoncé de l'exercice est le suivant: un tapis de jeu est constitué de 9 cases juxtaposées. Un pion est placé sur la case centrale, il se déplace sur le tapis grâce au lancer d'une pièce: pour PILE il se déplace d'une case vers la droite et pour FACE d'une case vers la gauche.
p est la probabilité d'obtenir PILE avec la pièce.
L'expérience aléatoire, simulée par l'algorithme ci-dessous, consiste à effectuer 4 déplacements successifs du jeton.
L'évènement C est: "le pion est revenu sur la case centrale".
L'algorithme est le suivant:
Début
Entrer le nombre de simulations N
Entrer la probabilité p
S=0
Pour i allant de 1 à N Faire
X=0
Pour j allant de 1 à 4
Si nombre au hasard (0,1) < p
Alors X=X+1
Sinon X=X-1
Fin Si
Fin Pour
Si X=0 Alors S=S+1 ...
Je ne parviens pas à comprendre l'algorithme, à quoi correspondent S et X?
Il y a différentes questions:
1. Compléter le tableau avec
a. p=0,4
b. p=0,5
J'ai trouvé le tableau suivant pour p=0,4
La première ligne, ainsi que les nombres au hasard figuraient déjà dedans.
S I J Nombre au hasard obtenu sans l'algorithme (à 0,01 près) X
0 1 / / 0
0 1 1 0.21 1
0 1 2 0.32 2
0 1 3 0.54 1
0 1 4 0.42 0
Est-ce juste?
Il faut également programmer cet algorithme sur la calculatrice. Je l'ai programmé mais je n'arrive vraiment pas à le comprendre... Pourriez-vous m'expliquer?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour, il est plutôt simple à comprendre cet algorithme.
X c'est le numéro de la case dans laquelle on est (de -4 à +4) et on part à X = 0
S c'est le nombre de fois où après les 4 coups on est revenu à X = 0
D'accord, merci beaucoup.
Donc si je comprend bien, si je veux qu'il affiche en sortie la fréquence de l'évènement C, il faut simplement afficher S?
Donc voilà mon algorithme en langage TI:
Input N
Input P
0->S
For (I,1,N)
0->X
For (I,1,4)
If NbrAléat<P
Then
X+1->X
Else
X-1->X
End
End
End
If X=0
Then
S+1->S
End
Disp S/N
Alors c'est qu'il ne marche pas.
tu es sûr de ton NbrAléat ?
tu as deux fois For (I,1,N) et For (I,1,4)
change de nom de variable, mets For (J,1,4)
C'est fait! mais il ne marche toujours pas...
Je me demandais à quoi servait le 0,1 entres parenthèses dans l'algorithme initial, c'est peut-être ça le problème
ça dit qu'il faut prendre un nombre aléatoire entre 0 et 1
regarde dans ta notice la syntaxe de la commande qui permet d'avoir un nombre aléatoire entre 0 et 1. NbrAléat ça me parait douteux.
Oui c'était entier aléatoire au lieu de nombre aléatoire
Par contre je comprend pas comment mon prof fera la correction, vu que c'est un nombre aléatoire chacun obtiendra quelque chose de différent...
Si N est assez grand, tout le monde va trouver des valeurs proches de S/N
pour le nombre aléatoire entre 0 et 1 sur TI je crois que c'est :
If rand < P
Ca marche!! Il fallait mettre le "End" qui termine la première boucle Pour après le dernier "Si"!
Merci beaucoup de votre aide!
Il me reste une dernière question qui est la suivante: grâce au "codage d'un trajet" suggéré par l'algorithme et en utilisant un schéma de Bernoulli, calculer en fonction de p la probabilité de l'évènement C.
Pour cette question j'ai fais un arbre de probabilité et je trouve que C correspond à l'évènement deux fois PILE et deux fois FACE. Je calcule donc la probabilité de C en fonction des différentes valeurs de p. Est-ce exact?
Encore merci!
Compter le nombre de fois où le pion est revenu sur la case centrale revient à répéter 4 fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès "le pion est revenu sur la case centrale" a pour probabilité p.
Donc X suit la loi binomiale de paramètre B(4;p)
J'ai remplacé n par 4 vu qu'on répète 4 fois l'épreuve de Bernoulli (obtenir pile ou face)
Par contre je suis pas du tout sûre de ce que j'ai écrit parce que normalement pour une épreuve de Bernoulli le succès devrait être le même (tout le temps obtenir pile ou tout le temps obtenir face), or ici il est différent (obtenir 2 piles et 2 faces)
non, moi j'aurais dit :
la probabilité pour qu'un événement de probabilité p se produise 2 fois (car s'il y a deux piles et seulement deux piles c'est que les deux autres tirages sont faces) au cours de 4 épreuves est C24p²(1-p)² = 6p²(1-p)²
Je crois que j'ai compris le raisonnement:
X=le nombre de "PILE"
X suit la loi binomiale de paramètre B(4;p)
P(X=2)=2 parmi 4 x p² x (1-p)^4-2
=6p²(1-p)² (ce que vous aviez trouvé)
et après l'exercice demande de comparer avec p=0,5, dans le tableau que j'ai du compléter au tout début et je ne comprend pas avec quoi il faut comparer...
pour p = 1/2 on trouve donc 3/8.
ce que l'on te demande c'est de comparer avec les S/N que tu trouves en faisant fonctionner l'algorithme.
normalement dès que N devient assez grand (essaye des valeurs de plus en plus grandes) tu devrais trouver des valeurs voisines de 3/8 (si on s'est pas trompé).
L'exercice me demandait de faire fonctionner l'algorithme en donnant à p les valeurs 0,1; 0,5 et 0;75 pour 500 puis pour 1000 simulations.
Je trouve donc avec p=0,5
Pour N=500: 0,368
Pour N=1000: 0,38
C'est donc des valeurs proches de 3/8= 0,375!
Donc c'est juste merci beaucoup!!!
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