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Etude d'une relation fonctionelle
bonjour
On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes
(1) pour tout réel x, (f'(x))²-(f(x))²=1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R
(4) f''(x)=f(x)
Soit v la fonction definie sur R par : pour tout reel x , v(x)= f'(x)-f(x)
a) demontrer que pour tout reel x , v'(x)=-v(x).
J'ai trouvé : v(x)=f'(x)- f(x)
v'(x)= f''(x)-f'(x)
v'(x) = f(x)-f'(x) car f''(x)=f(x)
v'(x) = 1 / f'(x)-f(x)
v'(x) = -v(x)
b) soit w la fonction definie sur R par w(x)=v(-x)
1. Demonter que pour tout reel x : w'(x)=w(x)
2.calculer w'(O) et en deduire la fonction w puis la fonction v
Je bloque sur la question b) 
J'avais trouvé ça aussi mais je ne savais pas si c'était bon . Merci
Mais pour les questions d'après du coup ?
Merci , mais je crois m'etre trompé parce ce ne serait pas plutot :
w'(x)= -v'(-x)
donc w'(x)= w(x)
du coup apres w'(0) = w (0)
= v(-0)
= v(0)
= f'(o)-f(0)
= 1-0
= 1
du coup apres pour deduire la fonction w : vu que w'(o)=1 et que w'(x)=w(x) la fonction w est une fonction exponentielle donc w = e^x
??
Bonjour à tous,
il doit y avoir une erreur d'énoncé je pense :
Pas d' erreur d' énoncé:
D'accord Merci
Du coup ce que j'ai fais juste au dessus c'est correcte et j'ai le droit de le présenter comme ça ?
Oui :
(f'(0))^2 - ((f(0))^2 = 1
1^2 - ((f(0))^2 = 1
-(f(0))^2 = 1-1
-(f(0))^2=0
donc f(0) = 0
du coup pour la fonction w , w(x) = e^-x
et pour la fonction v , w(x)=v(-x) et comme w(x)= e^2
donc v(x) = e^-x ??
Bonjour,
personnellement j'ai le même dm et j'a bien trouvé que w'(x)=w(x) et cela me paraît logique car nous pouvons conclure que c'est une fonction exponentielle et donc dire que w(x)=ex et non e-x, fais attention ! De plus je pense mais ne suis pas sûre, comme w(x)=v(-x) avec w(x)=ex donc ex=v(-x) donc v(x)=e-x !
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