Niveau Licence Maths 1e ann

Etude d'une série termes positifs...

Posté par
Boulet 06-11-08 à 14:00

Bonjour a tous ...
Enoncé :
Pour tout n entier naturel non nul, 0 $\le$ a_n <1
1)Montrer que $\Sigma$ a_n et $\Sigma$ $\frac{a_n}{1-a_n}$ sont de meme nature

2)On pose P_n = (1+a₁)(1+a₂)...(1+a_n)
Montrer que la suite (P_n) converge ssi $\Sigma$ a_n converge

3)On pose Q_n= $\frac{1}{1-a_1}$ $\frac{1}{1-a_2}$ ... $\frac{1}{1-a_n}$ .
Montrer que la suite (Q_n) converge ssi $\Sigma$ a_n converge.

Mes questions :
1) a_n $\le$ $\frac{a_n}{1-a_n}$
donc $\Sigma$ $\frac{a_n}{1-a_n}$ converge => $\Sigma$ a_n converge.
Par contre le sens retour me pose plus de problemes. En supposant juste que a_n -> 0 , je n'arrive a majorer $\frac{a_n}{1-a_n}$ qua partir d'un certain rang par des fractions du type $\frac{1}{N}$ avec N un entier. Et je ne vois pas en quoi cela force $\Sigma$ $\frac{a_n}{1-a_n}$ à converger.

2) Ok

3) Pas encore eu le déclic qui permet de démarrer.

Posté par re : Etude d'une série termes positifs... 06-11-08 à 14:24

Bonjour

1) Si $\sum a_n$ converge, la suite $(a_n)$ tend vers 0, donc $1-a_n$ tend vers 1 et ceci montre que $a_n\approx \frac{a_n}{1-a_n}$ . Comme il s'agit de séries à termes positifs...

3) Remarque que $\frac{1}{1-a_k}=1+\frac{a_k}{1-a_k}$

Posté par re : Etude d'une série termes positifs... 06-11-08 à 17:58

Merciiiii !!!
Je suis trop un boulet =)
Ben nickel. Merci encore

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