Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Etude d'une suite "recurrente"
Bonjours,
On se donne un n appartient pour tout entier naturel définie par u0=4 et pour tout n appartient entier naturel, Un+1= 1/2 ( Un + 4/Un).
On appelle f la fonction definie sur R+* par f(x)=1/2 ( x +4/x)pour tout x appartenant a R+*.
1° calculer les 3 premiers termes et faire leur construction graphique.
ça s'est bon.
2° Montrer que f est croissante sur [2; +infini[ et décroissante sur]0;2].
Presicer la valeur de f(2).
3 En deduire que la suite un est minorée par 2, c'est a dire pour tout n appartient entier naturel, 2 plus grand ou égal a Un.
4° a) Par raisonnement par recurrence et en utilisant les variations de f sur le bon intervalle, demontrer que la suite Unest decroissante. ( la question 3 sert )
b) redemontrer le resultat de la question a) par etude du signe Un+1-Un ( la question 3 sert )
voili
Pour la question 2, il suffit d'étudier le signe de la dérivée...
pour la dérivée, le premier terme est une constante, donc il ne bouge pas, et le deuxième terme, tu fais en deux fois:
dérivée de x et dérivée de
pour , tu fais
Excuse-moi, tu as raison, j'ai oublié le moins, quelle honte...
On en est donc à:
sur ]2; +infini[, est inférieur à 1, donc la dérivée est positive et donc f est croissante.
donc sur ]0;2], 4/x2 est superieure a 1, donc la dérivéé ets négative et donc f est décroissante sur ]0;2]
En fait on etudie 1-4/x2.
Bon, ensuite, tu dois remarquer que la suite et la fonction sont étroitement liées...
Un+1= (1/2)(un+ 4/un)
f(x)= (1/2) ( x + 4/x ), pour x=2 , f(2)= 2
f'(x)= (1/2) ( 1- 4/x2 )
D'apres les variations de f(x) pour tout x appartient R+*, f(x) est superieur ou egal a 2 donc pour tout n appartient entier naturel, f(n) est superieur ou egale a 2, donc Un est minoréé par 2.
C'est ça?...
Tu dois utiliser le fait que f est croissante.
Je vais me déconnecter, j'ai des trucs à faire. Je vois plus tard si tu t'en sors...
Je crois qu'il y a des erreurs dans ton énoncé.
A la question 3), c'est Un plus grand ou égal à 2.
Ensuite, pour la récurrence, tu montre que U1 est plus petit que U0 (en t'aidant de la question 1), ensuite tu suppose qu'au rang n, Un-1 est plus petit que Un et enfin, en utilisant la croissance de la fonction sur l'intervalle [2; + infini[, tu montre que Un+1 est plus petit que Un.
Théorème:
Si a < b et f croissante, alors f(a) < f(b).
C'est un théorème de seconde je crois.
Pour la 4b, tu transformes Un+1 par Un.
Ensuite, tu poses Un = x.
Tu dévellopes, tu mets tout sous 2x. Le dénominateur est toujours positif car x minoré par 2.
Le numérateur est un polynome:-2x² + x + 4.
delta = ...
Normalement, tu as toutes les cartes en main maintenant.
L'expression de Un+1 donnée dans l'énoncé.
Ensuite, tu fais ce que je t'ai dit.
Tu développe le 1/2 (1 + 4/x)
Ensuite, tu mets tout sous le même dénominateur.
Annuler
connectez vous