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Etude d'une suite un+1=racine(2-un)

Posté par
Weis
08-09-10 à 15:48

Bonjour,
J'essaye d'étudier la suite un+1=racine(2-un) avec u0 inconnue mais je bloque.
Ds un premier temps j'ai essayé d'étudier la fonction f(un)=un+1 qui est décroissante sur ]-infini;2] mais ensuite je n'arrive pas vraiment à continuer. Il faut probablement étudier trois cas selon les valeurs de uo?
Pour l'étude du point fixe je trouve -2 et 1...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 15:55

Bonjour

C'est déjà nécessaire d'avoir des quantités positives sous la racine... Donc déjà u_0 \leq 2

Ensuite, -2 n'est pas point fixe!

Donc commence par regarder pour quels x on a f(x) < 2, ce qui te limitera les possibilités pour u_0...

Posté par
Weis
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:01

Citation :
Ensuite, -2 n'est pas point fixe!
Pourtant quand on fait f(x)=x on trouve x²+x-2=0 et les racines sont -2 et 1 non?
Citation :
pour quels x on a f(x) < 2
On trouve pour x >=-2

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:05

f(-2)=\sqrt{2-(-2)}=\sqrt{4}=2\neq -2

(piège classique... racine parasite après une élévation au carré)

Oui, de toute façon, pour que la suite existe c'est nécessaire d'avoir -2\leq u_0\leq 2. Maintenant tu montres par récurrence, que cette condition assure l'existence de TOUTE la suite.

Posté par
DOMOREA
Etude d'une suite U_n+1=Racine(3-U_n) 08-09-10 à 16:15

Bonjour,
J'imagine que tu as résolu l'équation x=racine(2-x)
Fais attention, les termes sont positifs à partir de U1
Observe que la suite (u_n) n'est pas définie si u_0<-2
Si u_0=-2 u_1=2 et ensuite u_n>0 -2 n'est pas un point fixe.
1 est point fixe ok
1 est le seul point fixe.
Observe la fonction f(x)=racine(2-x) et travaille avec la fonction id(x)=x
C'est classique On a f'(1)=-1/2 c'est important .
Montre que si u_0 appartient à [-2,2] u_n converge vers 1

Posté par
Weis
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:24

Je viens de réussir la récurrence, j'ai utilisé la fonction f(un)=un+1 sachant qu'elle est décroissante sur ]-infini;2]

Posté par
Weis
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:46


Ok donc
Donc on a f([-2;2]) inclue dans [0;2]
Et f est contractante sur [-2;2]
Et f a un point fixe 1 qui appartient à [-2;2]
Donc (un) avec u0 appartient à [-2;2] converge vers 1
C'est bien ça?
Et maintenant pour connaître la monotonie je dois sans doute faire des cas suivant les u0 possible non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:53

Oui, ça tend vers 1. Je ne vois pas pourquoi tu veux faire la monotonie... De toute façon avec une fonction décroissante ça fait un escargot...

Etude d'une suite un+1=racine(2-un)

Posté par
Weis
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 16:58

Oui exact mais on me demande d'étudier la suite et par conséquent la monotonie non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 17:04

Ben, elle n'est pas monotone...

Posté par
Weis
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 08-09-10 à 17:15

Dans ce cas ne faut-il pas étudier les suites extraites (u2n) et (u2n+1)?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un) 09-09-10 à 14:11

Si tu veux, c'est une méthode différente pour montrer la convergence. mais tu l'as déjà fait en utilisant l'argument "contractant"

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