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Etude de deux suites.
1.Préciser l'ensemble de définition de Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par g(x)=ln(1/(2-x) où ln désigne la fonction lofarithme népérien.
Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l'image par g de l'intervalle I=[-2;0] est incluse dans cet intervalle.
2.a.Soit la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par : u0=-2 et u(n+1)=g(un).
Montrer que u1 appartient à l'intervalle I=[-2;0].Prouver par récurence, à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (Un) a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
b.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par: v0=0 et v(n+1)=g(Vn).
Calculer le terme v1 et montrer que -2<u1<v1<v0<0 ( < représente inférieur ou égal ici).
Etablir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle [-2;0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a : -2<un<vn<v(n-1)<0.
Préciser le sens de variation de la suite (Vn).
3.a.Soit m la fonction définie sur [0;+l'infini] par : m(x)=x-ln(1+x).
Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que,pour tout x positif,on a ln(1+x)<x.
b.Vérifier que,pour tout entier n,v(n+1)-u(n+1)=ln(1+(vn-un)/(2-vn)).
En déduire que v(n+1)-u(n+1)<(vn-un)/(2-vn).
Sachant que,pour tout entier n,les termes de la suite (Vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0],donner un encadrement de 1/(2-vn) et établir que : v(n+1)-u(n+1)<1/2(vn-un).
Prouver alors que,pour tout entier naturel n, vn-un<1/2^n *(v0-u0).
Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn-un et pour les suites (Un) et (Vn)?
4.Donner,à l'aide de la calculatrice,un encadrement d'amplitude 10^-4 de u10 et de v10.
Un petit tour vers la faq s'impose. Nous ne sommes pas des robots, merci d'en tenir compte !
Bonjour à tous. Je m'excuse d'avoir poster le sujet brut, mais j'ai oublier de mettre mes questions et mes pistes a la fin, j'ai mis le sujet brut pour que vous puissier avoir un apperçu du sujet. Voila Sinon j'aimerais savoir comment prouver par récurrence que la suite (Un) a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante ( question 2.a) et aussi pour la suite (Vn) ( question 2.b). Sinon j'ai aussi du mal pour la fin de la question 3.b. Voilà merci de m'aider et encore désoler pour le post en trop .
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salut
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1.Préciser l'ensemble de définition de Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par g(x)=ln(1/(2-x) où ln désigne la fonction lofarithme népérien.
Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l'image par g de l'intervalle I=[-2;0] est incluse dans cet intervalle.
2.a.Soit la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par : u0=-2 et u(n+1)=g(un).
Montrer que u1 appartient à l'intervalle I=[-2;0].Prouver par récurence, à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (Un) a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
b.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par: v0=0 et v(n+1)=g(Vn).
Calculer le terme v1 et montrer que -2<u1<v1<v0<0 ( < représente inférieur ou égal ici).
Etablir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle [-2;0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a : -2<un<vn<v(n-1)<0.
Préciser le sens de variation de la suite (Vn).
3.a.Soit m la fonction définie sur [0;+l'infini] par : m(x)=x-ln(1+x).
Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que,pour tout x positif,on a ln(1+x)<x.
b.Vérifier que,pour tout entier n,v(n+1)-u(n+1)=ln(1+(vn-un)/(2-vn)).
En déduire que v(n+1)-u(n+1)<(vn-un)/(2-vn).
Sachant que,pour tout entier n,les termes de la suite (Vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0],donner un encadrement de 1/(2-vn) et établir que : v(n+1)-u(n+1)<1/2(vn-un).
Prouver alors que,pour tout entier naturel n, vn-un<1/2^n *(v0-u0).
Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn-un et pour les suites (Un) et (Vn)?
4.Donner,à l'aide de la calculatrice,un encadrement d'amplitude 10^-4 de u10 et de v10.
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qu'as tu reussi à faire
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J'ai réussi à faire la question 1 ,la 3.a et le début de la 3.b. et la 4 que je ne peut faire sans la 3.b.
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1)g(x)=ln(1/(2-x)
Dg={x
/(2-x) stictement positif}
donc Df=]-
[
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Oui, ça je l'ai fait, mais je bloque sur la question 2.a et 2.b surtout, je trouve que u1= ln(1/4) mais après j'arrive pas a appliquer la réccurence a ce cas.
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2.a
Uo=-2
calcule U1
suppose que UnI
et puis on sait que si xI alors g(x)I
et Un+1=g(Un)
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Initialisation: u1=ln(1/4) et ln(1/4) appartient a I donc u1 est vrai.
Hérédité: Comme on sait que si x appartient à I alors g(x) appartient à I alors si un appartient a I Un+1 appartient a I.
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