Bonjour !
j'ai une étude de fonction à faire et elle me pose quelques soucis , je me permet donc de poster ici mon exercice et mes réponses en vous de mendant de l'aide pour avancer ou me corriger. Par avance , je vous remercie !

Soit f la fonction définie sur |R par : f(x)= (x^3-3x)/(x²+1)

1°)Mon trer qu'il esiste 2 nombres réels a et b tels que pour tou nombre réel x : f(x) = ax +[( bx)/(x²+1)]

f(x)= ax+(bx/x²+1) = (ax(x²+1)+bx)/(x²+1)= (ax^3+ax+bx)/x²+1= (ax^3+abx)/x²+1
si a=1 alors f(x)=(1x^3+bx)/x²+1  et b=-4
J'ai fait des vérifications et ca me semble bon.

2°) Montrer que f est impaire . que peut on en déduire graphiquement .

J'ai prouvé que f(-x)=-f(x), ainsi f est impaire. mais pour la propriété graphique je ne suis pas sure de moi , je pense que ca signifie qu'il existe une symétrie par rapport au point d'origine O.

3°)Etudier les variations de f sur |R

je pense qu'ils entendent par là que je dois dresser un tableau de variation.
j'utilise donc la dérivé.

Soit f(x) sous la forme u/v ou u=x^3-3x et v= x²+1 , u'=3x^3-3 et v'=2x

Sachant que x²+1 ne sannule pas sur |R , f(x)= (u'v-uv')/v²

f'(x)=[(3x²-3)(x²+1)-(x^3-3x)*2x)]/(x²+1)²
aprés développement du numérateur , j'obtiens f'(x)=(x^4+6x²-3)/(x²+1)²
sachant que le dénominateur est strictement positif , le signe de f' ne dépend que de x^4+6x²-3

ne sachant comment  l 'obtenir, j'ai déterminé X comme x² et j'ai donc une fonction de la forme aX²+bX+c où a=1 , b=6 et c=-3
j'utilise le discriminant , b²-4ac = 48
comme il est positif , il y a deux solutions réelles distinctes
X1= (-3-2racine de 3) et X2= (-3+2racine de3)
il y a donc une factorisation  possible (X+3+2racine de 3)( X+3-2racine de3)

c'est là qu vient mon probléme , car je peux dresser un tableau de sigen pour cette formule mais comme mon X est un x², mon tableau serait fossé non?

une fois le tableau de signe obtenu , le tableau de variations de f est facile a faire.
je vous remercie de prendre la peine de lire mon énoncé et de m'aider.
a très bientôt.
natakama