Bonsoir à tous.
Alors voilà j'ai un exercice sur les fonctions et j'aimerais une correction et de l'aide aussi.

En classe, nous avons tracé la figure sur le logiciel Géoplan pour nous aider.


Objectif: Etudier la fonction f qui à tout x de [0;R] associe l'aire f(x) du rectangle OMPN en se demandant en particulier si cette aire admet une valeur maximale pour une position particulière de M.


Enoncé: Le plan étant rapporté à un repère orthonormal de centre O, on considère un cercle de centre C de centre O et de rayon R qui coupe l'axe des abscisses en A (R;0) et l'axe des ordonnées en B(0;R).
On construit un rectangle OMPN avec M sur [OA], N sur [OB] et P sur le cercle C. Pour tout point M, on note x=OM.

La courbe représentative de f est l'ensemble des points m de coordonnées (x;f(x)).


1. Montrer que f(x) = x(R²-x²) pour x [0;R].

Je pense avoir réussi cette question en utilisant l'équation cartésienne du cercle pour montrer que l'ordonnée de P=MP=(R²-x²) et en prenant OM=x.


2.Justifier que f a même sens de variation que la fonction f² qui, à tout x de [0;R] associe (f(x))²

Là je ne suis vraiment pas sûre... mais j'ai essayé quelque chose

J'ai dit que (f(x))²=(x(R²-x²))² = x²(R²-x²)
Comme x [0;R], x 0 donc x² du même signe que x.
Puis, une racine est positive et x [0;R] donc (R²-x²)0 et R²-x²0

Les fonctions f et f² sont de mêmes signes donc elles ont le même sens de variation.


3. Etudier le sens de variation de f² puis déduisez en le tableau de variation de f.

Pour cette question faut il calculer la dérivée de f² ?


4.Pour quelle position de M obtient on le rectangle OMPN d'aire maximale ?

J'attend d'avoir fait les autres questions pour celle-ci.


Merci beaucoup à tous ceux qui me répondront.