Bonjour,

Un petit indice serait

bonjour

déjà il faudrait trouver son ensemble de définition

et son ensemble de dérivabilité et ensuite la dériver

Bonjour,

1ère méthode: dérive, puis re-intègre

J'ai prouvé son imparité puisque produit de deux fonctions impaires j'ai donc limité l'intervalle d'étude sur + or Arcsin est à valeur x dans R de -1 à 1. Par conséquent elle est définie sur R puisque pour tout x, le polynôme est compris entre -1 et 1. Voila ce que j'ai conclu

Par conséquent elle est donc dérivable sur R...

Vous me proposez donc deux méthodes :
- en passant par Arctg
- en passant par la dérivée

C'est ça ?

Je comprend pour la méthode de la dérivée que cela peut me simplifier l'expression, cependant j'ai du mal à comprendre où Arctg peut me mener...

L'utilisation d'Arctan ne te menera a rien...

En fait, tu verras plus tard pourquoi j'ai parlé d'arctan.

déjà démontre que c'est défini sur R !

ensuite dérive plutôt que de faire des considérations ! et tu verras !

ensuite pose x = tan(y) avec y entre -pi/2 et pi/2 et tu verras !

J'ai compris

J'ai donc f(x) = Arctg x

Mais une autre méthode, je pensais passer par cos²x + sin²x = 1 en prenant x la fonction mais je me demande si ça va me mener qq part...

démontre !

Voila comment j'ai démontré que c'était défini sur R :

Arcsin est définie sur [-1;1] à valeur dans [-Pi/2;Pi/2]
ie. le polynôme doit appartenir à [-1;1] sinon Arcsin n'est pas défini
ie. x
ie. x² x²+1
ce qui est vrai pour tout x appartenant à .

Est-ce rigoureux?

Cependant je définis qu'une primitive de f'(x) est F(x)=Arctg x mais comment démontrer que F(x)=f(x), je ne pense pas que je puisse l'affirmer comme ça, si ?

et si tu trouves que f(x) a la même dérivée que arctan(x) ... alors f(x)=arctan(x) + Constante

Je parle du polynôme qui est dans la parenthèse : x/rac(x²+1)

Comment puis-je faire alors...?

déjà faudra revoir la définition d'un polynôme

le quotient de polynômes pardon...

désolée je suis pas très forte en maths, je bosse à fond pour progresser, je demande juste un peu d'aide et à comprendre, pas à me faire enfoncer...

faudra quand même revoir ce qu'est un polynôme !!!

ici ce n'est pas non plus un quotient de polynôme (alias fraction rationnelle) !

(ce que je te dis est justement pour te faire progresser ! si je voulais "t'enfoncer", je te dirais que tu as raison !)

Mais on est en sup là... donc il faut de la rigueur...

Comment peut-on l'appeler alors ?
Et comment puis-je démonter le domaine de définition alors ? Je distingue les deux cas où x est négatif et x est positif ?

on ne l'appelle pas ! c'est une fonction... et pis c'est tout ! (quand on a une racine carrée, cela ne peut-être ni un polynôme, ni une fraction rationnelle)

bien

x²+1 > x² 0

d'accord ?

et la fonction racine carrée croit sur [0 ; + inf[

donc quand on l'applique aux membres d'une inégalité, l'ordre est conservé.

applique-la à cette inégalité...

D'accord, je comprend mieux, il me manquait un peu de logique dans mon raisonnement.. et de rigueur, je sais bien. Je m'efforce d'être rigoureuse mais je ne le suis malheureusement pas toujours.

Du coup, ça, j'ai bien compris.
Pareil pour la méthode de la dérivée, une dérivée qui a deux primitives, je démontre que la constante vaut 0 pour démontrer l'égalité des deux primitives.

Du coup, l'autre méthode était de poser x = tan y, c'est ça ?

Je me retrouverais donc avec si je ne me trompe pas ?

nous n'avons pas fini avec l'ensemble de définition.

je te prie de reprendre la suite de mon post de 18:15 et de poursuivre la démo

merci

Je reprend alors :

Arcsin est définie sur [-1;1] à valeurs dans [-Pi/2;Pi/2].
On a bien x²+1 0 donc x/rac(x²+1) est défini sur R.
Cependant, il faut que x/rac(x²+1) appartienne à [-1;1].
ie. il faut que x rac(x²+1)
Démontrons le.
Pour tout réel x, x²+1 x² 0
La fonction racine est une fonction croissante sur + donc l'égalité suivante est équivalente :
rac(x²+1) rac(x²) = x

On a bien pour tout réel x, x/rac(x²+1) appartenant à [-1;1] donc f(x) est définie sur R.

Ah oui...

rac(x²)=+x ou -x

Donc rac(x²+1)x
ou rac(x²+1) -x

ce qui revient à dire rac(x²+1) |x|

oui !

racine(x²) = |x|

donc |x|rac(x²+1)
donc -rac(x²+1)xrac(x²+1)

et en divisant tout par rac(x²+1), qui est positif, tu obtiens

-1x/rac(x²+1)-1

pour tout x de R

donc ta fonction est définie sur R

maintenant dérive f

J'y aurais jamais pensé toute seule je vais travailler ça à fond.
Merci

Je continue la suite alors...

f est définie sur R donc dérivable sur R.


Oui j'obtiens f'(x) = 1/(x²+1).
Je définis F une primitive de F, définie par F(x)=arctg x.
On a donc f'(x)=F'(x) donc
f(x)= arctg x + constante.
En particulier, pour x=0
f(0)=0 + constante
Donc la constante est nulle, et on a bien f(x)=arctg x

F une primitive de f'

bien

maintenant
autre méthode :

pose y=arctan(x)

donc x = tan(y)

transforme f(x)

(et s'il te plait, pas de tan'(x) dont on se demande bien ce qu'on en ferait)

Je ne vois pas trop comment avancer :/

remplace...

et je te ferais remarquer que 1+tan²(y) = 1/cos²(y) ... voir le formulaire trigo

oui oui je suis arrivée jusqu'à là, ce que je veux dire c'est que j'arrive à Arcsin (tgy cosy) et je me demande comment je peux sortir un arctg de là... ça me saute pas aux yeux...

c'est quoi la définition de tan(y) ?

je sais que là je peux refaire le changement de variable et arriver à

Arcsin (x cos(arctgx))
mais c'est le cos arctgx qui me donne du fil à retordre...

pfouuuhhh !

c'est quoi la définition de tan(y) ?????

comment est définie la fonction tangente ?

D'accord...

Arcsin (tgy cosy)
= Arcsin sin y
= y
= arctg x

merci beaucoup pour ton aide.. je sais que j'ai beaucoup à progresser...

j'en suis content.

ce fut un plaisir

mm