Bonsoir,

Pendant mes révisions de partiels j'ai refais un sujet des années précédentes mais n'ayant pas les corrigés je voulais m'assurer de mes réponses.

Soit f la fonction définie par :

f(x) = ln((x+1)/x) - 1/(x+1)

Soit g la fonction définie par :

g(x) = ((x+1)/x)^x

1) Etude de f.

a) Préciser le domaine de définition Df de f.  
réponse : ]-inf ; -1[ U ]-1;0[ U ]0 ; + =inf[

b) Calculer la dérivée f' de f.
réponse : 1/(x(x+1)) + 1/(x+1)²

c) Déterminer les limites de f en -inf et en +inf
réponse : je suis pas très sur pour les lim mais voila ce que j'ai fais.

en - inf :

x+1 -> -inf
1/(x+1) -> 0

pour (x+1)/x on obtient une FI donc j'ai factorisé par x :
donc lim (x+1)/x = lim 1 + 1/x
1/x ->0
1+1/x ->1
ln(x+1)/x -> 0

f(x) -> 0 en -inf

en + inf :

1/(x+1) -> 0
de même 1 + 1/x -> 1
donc ln(x+1)/x -> 0

f(x) -> 0 en +inf

d) Dresser le tableau de variations de f et en déduire le signe de f(x) pour toux x appartenant à Df.
réponse:

elle est croissante de -inf à -1 et décroissante de 0 à +inf.

2) Etude de g.

a) Mettre g sous forme exponentielle.
réponse : g(x) = e^(x.ln((x+1)/x))

b) Déterminer le domaine de définition D de g.
réponse : R*

c) Calculer en justifiant soigneusement :
lim en +inf, lim en -inf, lim en 0⁺ et lim en -1^-.

d) Calculer g' la dérivée de g et vérifier que g' = g f.

e) Dresser le tableau de variation de g.

Je n'ai pas encore fait les questions c) d) et e).

Merci de me dire mes erreurs jusque là.
Je n'ai pas détaillé toutes mes réponses notamment pour les ensembles de definition et la dérivée.