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Etude de l'inversion

Posté par
fabuloso 11-09-09 à 19:03

Bonjour!

Je fais un dm de mathématiques et j'ai un exercice sur l'inversion, cependant, j'ai un peu de mal a y voir clair...

On note P le plan affine, O un point de P,P*=Pprivé de O. On munit P d'un repère orthonormé direct d'origine O.

Soit k un réel strictement positif, on appelle inversion de centre O et de rapport k l'application i de P* vers lui meme qui au point M associe le point M' défini par: \vec{OM'}= k\frac{\vec{OM}}{OM^2}.

J'ai trouvé que les points invariants de i sont le cercle de centre O et de rayon \sqrt{k}. Elle est involutive.

Maintenant:

Soit D une droite passant par O privée de O. Montrer que l'image de D par l'inversion i est elle meme  ( comme O M et M' sont alignés, on a M' appartient a (OM), soit D) mais je ne sais pas si cela sufit.

Ensuite: Si D est une droite ne passant pas par O. Montrer que l'image de D par l'inversion i est incluse dans un cercle C passant par O dont le centre \Omega est tel que \vec{O\Omega} est othogonal à D. (la je ne vois pas..)

Un peu d'aide serait la bienvenue,

Merci d'avance.

Posté par
fabulosore : Etude de l'inversion 11-09-09 à 21:15

Il y a quelqu'un?

Posté par
robby3re : Etude de l'inversion 11-09-09 à 21:26

Bonsoir,
je te conseillerais de passer par l'expression complexe de ton inversion:

ton expression 5$ \vec{OM'}=k\frac{\vec{OM}}{OM^2} peut ainsi se traduire par:

5$ z'-O=\frac{k}{\bar{(z-O)}

aprés tu peux donc dire que ton inversion,c'est une application i tel que 5$ i(z)=\frac{k}{\bar{z}}

ensuite,l'équation complexe d'une droite passant par O est5$ z\bar{\omega}+\bar{z}\omega=0
le fait qu'elle soit privée de O signifie que z\neq 0

je te laisse faire le reste,tu pourrais commencer par le faire pour une inversion de puissance 1 par exemple...

Posté par
fabulosore : Etude de l'inversion 13-09-09 à 12:25

Bonjour,

J'ai réussi a répondre a la premiere question sans l'utilisation des complexes, mais j'aimerais bien qu'on me mette sur la piste pour la deuxieme, si possible sans l'utilisation des complexes... Je ne vois pas comment m'y prendre.

Merci.

Posté par
robby3re : Etude de l'inversion 13-09-09 à 13:37

pour la 2eme, essaye de te ramener au cas ou ou l'inversion de pole O a un point fixe sur D...
tu considères H le projeté orthogonal de O sur D de sorte que H est fixé par l'inversion de pole O de puissance OH² puis tu considères l'image de ta droite D par cette inversion.
je te laisse poursuivre...dis nous si tu y arrives!


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